试题

题目：
青果学院（2010·闸北区一模）如图，在△ABC中，AB=2
6
，AC=4，点D是AB中点，点E在边AC上，且∠AED=∠ABC．
（1）求AE的长度；
（2）设
AB
=
a
，
AC
=
b
，试用m
a
+n
b
表示向量
DE
．
答案
解：（1）在△ABC和△AED中，
∵∠A=∠A，∠ABC=∠AED
∴△ABC∽△AED（3分）
∴
AB
AE
=
AC
AD
∴
2
6
AE
=
4
6

∴AE=3

（2）∵
DE
=
AE
-
AD
，
AE
=
3
4
AC
=
3
4
b
，
AD
=
1
2
AB
=
1
2
a
（1分）
∴
DE
=
3
4
b
-
1
2
a
．
解：（1）在△ABC和△AED中，
∵∠A=∠A，∠ABC=∠AED
∴△ABC∽△AED（3分）
∴
AB
AE
=
AC
AD
∴
2
6
AE
=
4
6

∴AE=3

（2）∵
DE
=
AE
-
AD
，
AE
=
3
4
AC
=
3
4
b
，
AD
=
1
2
AB
=
1
2
a
（1分）
∴
DE
=
3
4
b
-
1
2
a
．
考点梳理
*平面向量；相似三角形的判定与性质．
（1）首先根据对应角相等，两三角形相似，证得△ABC∽△AED．再根据对应边成比例，求得AE的长．
（2）根据向量减法的三角形法则，可知三角形中三边间的关系．再利用（1）中AE长，那么向量
DE
即可用
AD
与
AE
表示出来，进而用m
a
与n
b
表示出来．
本题考查相似三角形的性质、平面向量．解决本题的关键是懂得三角形中如何用三边向量表示、相似三角形的性质与判定．
数形结合．
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