试题

（2010·镇海区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，∠ABC=60°．
（1）求⊙O的直径；
（2）若D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；
（3）若动点E从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F从B点出发沿BC方向运动，设AE=x、BF=y，连接EF，求当△BEF为直角三角形时，写出x、y的关系式，（不要求写出x的取值范围）．

解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，
又弦BC=4cm，∠ABC=60°，∴∠A=30°，
则⊙O的直径AB=2BC=8cm；

（2）根据题意画出图形，如图所示：
当BD=BC=4cm时，CD与圆O的相切，
证明：∵∠ABC=60°，OC=OB，
∴△OCB为等边三角形，∴CB=OB=BD，
∴∠OCD=90°，
∴CD是圆O的切线；

（3）当∠EFB=90°时，画出图形得：
由AB为圆O的直径得到∠C=90°，又∠B=60°，
∴∠A=30°，则AB=2BC=8，
∵∠EFB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△EFB∽△ACB，
∴

BE

AB

=

BF

BC

，即

8-x

8

=

y

4

，
∴y=-

1

2

x+4；
当∠FEB=90°时，画出图形得：
由∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，
∴△FEB∽△ACB，
∴

BE

BC

=

BF

AB

，即

8-x

4

=

y

8

，
∴y=-2x+16．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，
又弦BC=4cm，∠ABC=60°，∴∠A=30°，
则⊙O的直径AB=2BC=8cm；

（2）根据题意画出图形，如图所示：
当BD=BC=4cm时，CD与圆O的相切，
证明：∵∠ABC=60°，OC=OB，
∴△OCB为等边三角形，∴CB=OB=BD，
∴∠OCD=90°，
∴CD是圆O的切线；

（3）当∠EFB=90°时，画出图形得：
由AB为圆O的直径得到∠C=90°，又∠B=60°，
∴∠A=30°，则AB=2BC=8，
∵∠EFB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△EFB∽△ACB，
∴

BE

AB

=

BF

BC

，即

8-x

8

=

y

4

，
∴y=-

1

2

x+4；
当∠FEB=90°时，画出图形得：
由∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，
∴△FEB∽△ACB，
∴

BE

BC

=

BF

AB

，即

8-x

4

=

y

8

，
∴y=-2x+16．