试题

题目:
青果学院(2011·常熟市模拟)如图,AE是⊙O的切线,切点为A,BC∥AE,BD平分∠ABC交AE于点D,交AC于点F
(1)求证:AC=AD;
(2)若BC=
3
,FC=
3
2
,求AB长.
答案
(1)证明:作直径AG交BC于H,
青果学院
∵AE是⊙O的切线,切点为A,
∴AG⊥AD,
∵BC∥AE,
∴AG⊥BC,
∵AG为直径,
∴AG是BC的垂直平分线,
∴AB=AC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵BC∥AE,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AD=AB,
∴AC=AD.

(2)解:设AB=x,则AC=AD=x
∵BC∥AE,
∴△ADF∽△CBF,
AD
CB
=
AF
FC

x
3
=
x-
3
2
3
2

∴x=6+3
3

(1)证明:作直径AG交BC于H,
青果学院
∵AE是⊙O的切线,切点为A,
∴AG⊥AD,
∵BC∥AE,
∴AG⊥BC,
∵AG为直径,
∴AG是BC的垂直平分线,
∴AB=AC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵BC∥AE,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AD=AB,
∴AC=AD.

(2)解:设AB=x,则AC=AD=x
∵BC∥AE,
∴△ADF∽△CBF,
AD
CB
=
AF
FC

x
3
=
x-
3
2
3
2

∴x=6+3
3
考点梳理
切线的性质;相似三角形的判定与性质.
(1)要证DE是⊙O的切线,只要连接OC,再证∠DCO=90°即可.
(2)已知两边长,求其它边的长,可以来三角形相似,对应边成比例来求.
本题考查了切线的判定、相似三角形的性质和勾股定理的运用.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
几何综合题.
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