试题

（2011·巢湖模拟）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以

2

个单位每秒速度运动，运动时间为t．求：
（1）C的坐标为；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时S的值．

解：（1）过C作CE⊥x轴于E；
由于四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°；
易证得△ABO≌△BCE，
则AO=BE=3，OB=CE=1，
∴C（4，1）；（2分）
同理可求，D（3，4）．

（2）由于P是正方形的对称中心，由A（0，3），C（4，1），
可得P（2，2）；
则∠MOE=45°，又OR=

2

t，OH=t，所以RH∥y轴，即R、H的横坐标相同；
由于AB∥CD，得∠DMR=∠ANO，若△ANO与△DMR相似，则：
①当∠MDR=45°时，R、P重合，此时R（2，2），故t=2，点H（2，0）；
②当∠DRM=45°时，DR∥y轴，此时R（3，3），故t=3，点H（3，0）；
所以当t=2或t=3时，△ANO与△DMR相似．

（3）①分两种情况：
一、0＜t≤4，H在E点左侧；
易知RH=t，HE=4-t，故S=

1

2

RH·HE=

1

2

t（4-t）=-

1

2

t²+2t；
二、t＞4，H在E点右侧；
易知RH=t，HE=t-4，故S=

1

2

RH·HE=

1

2

t（t-4）=

1

2

t²-2t；
②若以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形，分三种情况：
一、CR∥AB；此时R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直线CD：y=-3x+13；
当x=y时，-3x+13=x，解得x=

13

4

；
即M（即R）点横坐标为

13

4

，H（

13

4

，0）；
故t=

13

4

，代入S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）可得S=

39

32

；
同理可求得：
二、AR∥BC时，t=

9

2

，S=

9

8

；
三、BR∥AC时，t=

1

3

，S=

11

18

；
综合①②可得：
S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）；（1分）S=

1

2

t²-2t（t＞4）．
当CR∥AB时，t=

13

4

，（1分）S=

39

32

；
当AR∥BC时，t=

9

2

，S=

9

8

；
当BR∥AC时，t=

1

3

，S=

11

18

．