试题

（2011·成华区二模）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．
（1）试猜想线段AE和BD之间的关系，并说明理由；
（2）若AC=3，BC=

2

，∠ACB=135°．
①求CG：CE的值；②求AB的长．

解：（1）猜测AE=BD，AE⊥BD；理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=CD，CE=CB，
在△ACE与△DCB中，
∵

AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，
∠CAE=∠CDB；
∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DHF=∠ACD=90°，
∴AE⊥BD．
故线段AE和BD的数量是相等，位置是垂直关系．

（2）①∵∠ACD=∠BCE=90°，∠ACB=135°，
∴∠DCE=45°，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，AC=3，BC=

2

，
∴∠BEC=45°，CD=AC=3，BE=

2

BC=2，
∴∠DCE=∠BEC，
∴CD∥BE，
∴△CDG∽△EBG，
∴

CG

EG

=

CD

BE

=

3

2

，
∴CG：CE=3：5；
②过点B作BK⊥AC，交AC的延长线于点K，
∵∠ACB=135°，
∴∠BCK=45°，
∴CK=BK=BC·sin45°=

2

×

2

2

=1，
∴AK=AC+CK=3+1=4，
在Rt△ABK中，AB=

AK2+BK2

=

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解：（1）猜测AE=BD，AE⊥BD；理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=CD，CE=CB，
在△ACE与△DCB中，
∵

AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，
∠CAE=∠CDB；
∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DHF=∠ACD=90°，
∴AE⊥BD．
故线段AE和BD的数量是相等，位置是垂直关系．

（2）①∵∠ACD=∠BCE=90°，∠ACB=135°，
∴∠DCE=45°，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，AC=3，BC=

2

，
∴∠BEC=45°，CD=AC=3，BE=

2

BC=2，
∴∠DCE=∠BEC，
∴CD∥BE，
∴△CDG∽△EBG，
∴

CG

EG

=

CD

BE

=

3

2

，
∴CG：CE=3：5；
②过点B作BK⊥AC，交AC的延长线于点K，
∵∠ACB=135°，
∴∠BCK=45°，
∴CK=BK=BC·sin45°=

2

×

2

2

=1，
∴AK=AC+CK=3+1=4，
在Rt△ABK中，AB=

AK2+BK2

=

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