试题

（2011·道里区模拟）在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN相交于E．
（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD-2DE=

2

BM；
（2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是；
（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G，连接CG．若DE=

2

，且AF：FD=1：2时，求线段DG的长．

解：（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∴FM∥CD，
∴∠NDE=∠MFE，
∴FM=BM，
∵BM=DN，
∴FM=DN，
在△EFM和△EDN中，

∠NDE=∠MFE ∠NED=∠MEF DN=FM

，
∴△EFM≌△EDN，
∴EF=ED，
∴BD-2DE=BF，
根据勾股定理得：BF=

2

BM，
即BD-2DE=

2

BM．
                               
（2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，
与（1）证法类似：BD+2DE=BF=

2

BM，
故答案为：BD+2DE=

2

BM．
                                  
（3）由（2）知，BD+2DE=

2

BM，BD=

2

BC，
∵DE=

2

，
∴CM=2，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△DNF，
∴AF：FD=AB：ND，
∵AF：FD=1：2，
∴AB：ND=1：2，
∴CD：ND=1：2，
CD：（CD+2）=1：2，
∴CD=2，
∴FD=

4

3

，
∴FD：BM=1：3，
∴DG：BG=1：3，
∴DG=

2

2

．