试题

（2011·阜阳模拟）如图，在·ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q，连接PE、PF．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥CD？并求出此时PE的长；
（2）试判断△PEF的形状，并请说明理由．
（3）当0＜t＜2.5时，
（ⅰ）在上述运动过程中，五边形ABFPE的面积（填序号）
①变大        ②变小        ③先变大，后变小        ④不变
（ⅱ）设△PEQ的面积为y（cm²），求出y（cm²）与t（s）之间的函数关系式及y的取值范围．

解：（1）∵AE=BF=CP=t，
∴AP=5-t，
在·ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴

t

5

=

5-t

5

，
∴t=2.5，
此时点P、E分别为AC、AD的中点，
∴PE=

1

2

CD=

1

2

AB=3cm；（4分）

（2）△PEF是等腰三角形（5分）
证明：在·ABCD中，AD=BC=AC，AB=EF=CD，
∴∠CAB=∠CBA，
∵AB∥EF，
∴∠CQF=∠CAB，∠CFQ=∠CBA，
∴∠CFQ=∠CQF，
∴CF=CQ，
∴AQ=BF=AE，
∴AP=CQ=CF，
∵AD∥BC，
∴∠PAE=∠FCP，
∴△PAE≌△FCP，
∴PE=PF；（8分）

（3）（ⅰ）在上述运动过程中，五边形ABFPE的面积④（填序号）（10分）
（ⅱ）∵△AQE∽△ACD，
∴

QE

CD

=

AQ

AC

，
∴QE=

AQ

AC

·CD=

6

5

t（11分）
过点P作PH⊥EF于点H，过点C作CG⊥AB于点G，
∴△PQH∽△CAG，
∴

PH

CG

=

PQ

AC

，
∴PH=

PQ

AC

· CG=

4

5

(5-2t)
∴y=-

24

25

(t-

5

4

)2+

3

2

（13分）
∴当t=

5

4

时，y_最大=

3

2

，
∴0＜y≤

3

2

．（14分）