试题

（2011·赣州模拟）如图，半径OC⊥弦AB于E，过B作⊙O的切线交OC的延长线于点D，已知BD=8，OD=10，点P是优弧

AMB

上的一个动点．
（1）求⊙O的半径；
（2）当点P运动至

AP

=

AC

时，弦AC与弦BP有何关系？并证明你的结论；
（3）当点P运动至BO的延长线上时，求出此时AP的长．

解：（1）连OB，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴OB⊥DB，即∠OBD=90°，
在Rt△OBD中，OD=10，BD=8，
∴OB²+BD²=OD²，
∴OB=

102-82

=6，
即⊙O的半径为6；

（2）当点P运动至

AP

=

AC

时，弦AC∥弦BP．理由如下：
∵半径OC⊥弦AB，
∴弧AC=弧BC，
∵弧AP=弧AC，
∴弧BC=弧AP，
∴∠CAB=∠ABP，
∴AC∥BP；

（3）如图，
∵BP为⊙O的直径，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB，
而OE⊥AB，
∴OD∥AP，
∴∠P=∠DOB，
∴Rt△APB∽Rt△BOD，
∴AP：OB=BP：OD，即AP：6=12：10，
∴AP=

36

5

．
解：（1）连OB，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴OB⊥DB，即∠OBD=90°，
在Rt△OBD中，OD=10，BD=8，
∴OB²+BD²=OD²，
∴OB=

102-82

=6，
即⊙O的半径为6；

（2）当点P运动至

AP

=

AC

时，弦AC∥弦BP．理由如下：
∵半径OC⊥弦AB，
∴弧AC=弧BC，
∵弧AP=弧AC，
∴弧BC=弧AP，
∴∠CAB=∠ABP，
∴AC∥BP；

（3）如图，
∵BP为⊙O的直径，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB，
而OE⊥AB，
∴OD∥AP，
∴∠P=∠DOB，
∴Rt△APB∽Rt△BOD，
∴AP：OB=BP：OD，即AP：6=12：10，
∴AP=

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