试题

题目:
(2010·黄浦区一模)在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,BC=2,∠A=90°.(如图1)
(1)试求∠C的度数;
(2)若E、F分别为边AD、CD上的两个动点(不与端点A、D、C重合),且始终保持∠EBF=45°,BD与EF交于点P.(如图2)
①求证:△BDE∽△BCF;
②试判断△BEF的形状(从边、角两个方面考虑),并加以说明;
③设AE=x,DP=y,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域.
青果学院
答案
解:(1)作DE⊥BC,垂足为E,
在四边形ABHD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠A=90°,
则四边形ABHD为正方形,青果学院
又在△CDH中,∠DHC=90°,DH=AB=1,CH=BC-BH=1,
∠C=
180°-∠DHC
2
=45°


(2)①∵四边形ABHD为正方形,
∴∠CBD=45°,∠ADB=45°,
又∵∠EBF=45°,
∴∠DBE=∠CBF
又∵∠BDE=∠C=45°,
∴△BDE∽△BCF.

②△BEF是等腰直角三角形,
∵△BDE∽△BCF,
BE
BD
=
FB
CB

又∵∠EBF=∠DBC=45°,
∴△EBF∽△DBC,
又在△DBC中,∠DBC=∠C=45°,为等腰直角三角形,
∴△BEF是等腰直角三角形.
③延长EF交BC的延长线于点Q,

易知BD=CD=
2

∵△BDE∽△BCF,
DE
CF
=
DB
CB
=
1
2

DE=1-x,CF=
2
-
2
x

DF=CD-CF=
2
x

又∵
CQ
DE
=
CF
DF
=
1-x
x

CQ=
1-2x+x2
x

DP
BP
=
DE
BQ
=
x-x2
1+x2

y
2
-y
=
x-x2
1+x

y=
2
x-
2
x2
1+x
,(0<x<1).
解:(1)作DE⊥BC,垂足为E,
在四边形ABHD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠A=90°,
则四边形ABHD为正方形,青果学院
又在△CDH中,∠DHC=90°,DH=AB=1,CH=BC-BH=1,
∠C=
180°-∠DHC
2
=45°


(2)①∵四边形ABHD为正方形,
∴∠CBD=45°,∠ADB=45°,
又∵∠EBF=45°,
∴∠DBE=∠CBF
又∵∠BDE=∠C=45°,
∴△BDE∽△BCF.

②△BEF是等腰直角三角形,
∵△BDE∽△BCF,
BE
BD
=
FB
CB

又∵∠EBF=∠DBC=45°,
∴△EBF∽△DBC,
又在△DBC中,∠DBC=∠C=45°,为等腰直角三角形,
∴△BEF是等腰直角三角形.
③延长EF交BC的延长线于点Q,

易知BD=CD=
2

∵△BDE∽△BCF,
DE
CF
=
DB
CB
=
1
2

DE=1-x,CF=
2
-
2
x

DF=CD-CF=
2
x

又∵
CQ
DE
=
CF
DF
=
1-x
x

CQ=
1-2x+x2
x

DP
BP
=
DE
BQ
=
x-x2
1+x2

y
2
-y
=
x-x2
1+x

y=
2
x-
2
x2
1+x
,(0<x<1).
考点梳理
相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形;正方形的判定与性质;直角梯形.
(1)要求∠C的度数,只需要将直角梯形转化为矩形和一个直角三角形就可以解决;
(2)①根据两角对应相等的两三角形相似很容易得出结论.
②是一个结论猜想试题,根据条件易得出△BEF∽△BDC,从而得出△BEF为等腰直角三角形.
③要求函数的解析式需要多次利用三角形相似转化AE与DP的关系,从而将y用含x的代数式代换出来.
本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形性质,矩形的性质,直角梯形的性质及辅助线的作法,还渗透了函数的解析式.难度大综合性强.
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