题目:
(2010·黄浦区一模)在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,BC=2,∠A=90°.(如图1)
(1)试求∠C的度数;
(2)若E、F分别为边AD、CD上的两个动点(不与端点A、D、C重合),且始终保持∠EBF=45°,BD与EF交于点P.(如图2)
①求证:△BDE∽△BCF;
②试判断△BEF的形状(从边、角两个方面考虑),并加以说明;
③设AE=x,DP=y,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域.
答案
解:(1)作DE⊥BC,垂足为E,
在四边形ABHD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠A=90°,
则四边形ABHD为正方形,

又在△CDH中,∠DHC=90°,DH=AB=1,CH=BC-BH=1,
∴
∠C==45°.
(2)①∵四边形ABHD为正方形,
∴∠CBD=45°,∠ADB=45°,
又∵∠EBF=45°,
∴∠DBE=∠CBF
又∵∠BDE=∠C=45°,
∴△BDE∽△BCF.
②△BEF是等腰直角三角形,
∵△BDE∽△BCF,
∴
=,
又∵∠EBF=∠DBC=45°,
∴△EBF∽△DBC,
又在△DBC中,∠DBC=∠C=45°,为等腰直角三角形,
∴△BEF是等腰直角三角形.
③延长EF交BC的延长线于点Q,
易知
BD=CD=,
∵△BDE∽△BCF,
∴
==,
则
DE=1-x,CF=-x,
∴
DF=CD-CF=x,
又∵
==,
∴
CQ=,
∵
==,
∴
=y=,(0<x<1).
解:(1)作DE⊥BC,垂足为E,
在四边形ABHD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠A=90°,
则四边形ABHD为正方形,

又在△CDH中,∠DHC=90°,DH=AB=1,CH=BC-BH=1,
∴
∠C==45°.
(2)①∵四边形ABHD为正方形,
∴∠CBD=45°,∠ADB=45°,
又∵∠EBF=45°,
∴∠DBE=∠CBF
又∵∠BDE=∠C=45°,
∴△BDE∽△BCF.
②△BEF是等腰直角三角形,
∵△BDE∽△BCF,
∴
=,
又∵∠EBF=∠DBC=45°,
∴△EBF∽△DBC,
又在△DBC中,∠DBC=∠C=45°,为等腰直角三角形,
∴△BEF是等腰直角三角形.
③延长EF交BC的延长线于点Q,
易知
BD=CD=,
∵△BDE∽△BCF,
∴
==,
则
DE=1-x,CF=-x,
∴
DF=CD-CF=x,
又∵
==,
∴
CQ=,
∵
==,
∴
=y=,(0<x<1).