试题

（2010·静海县一模）已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为
AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P₁位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1，
（Ⅰ）求BC、AP₁的长；
（Ⅱ）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；
（Ⅲ）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围．

解：（Ⅰ）∵点在直线y=2x+1上，
∴B（0，1）．
又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P₁为圆心，F₁为P₁与直线AC的切点，
∴P₁F₁⊥AC，∠BAF₁+∠ABF₁=90°．
又∵∠AP₁F₁+∠ABF₁=90°，
∴∠AP₁F₁=∠BAF₁．
在Rt△ABC和Rt△P₁AB中，
∵∠BP₁A=∠CAB，
∴Rt△BP₁A∽Rt△CAB．
∴

AB

BC

=

AP1

AB

，AP1=

AB2

BC

=

22

4

=1；

（Ⅱ）PD=4-m，过P作BC的垂线，垂足为G，
∵PF∥P₁F₁，P₁P∥BE，
∴四边形P₁PEB为平行四边形，
∴P₁B=PE．
又PG=AB，
∴Rt△BAP₁≌Rt△PGE，AP₁=GE=1．
∴EC=CG+GE=PD+GE=5-m，
∴s=-2m+9．（6分）
1≤m＜4；

（Ⅲ）当EF=1时，
∵△EFC∽△ABC，
∴

EF

EC

=

AB

AC

=

5

5

，EC=

5

，
∵PE=BP1=

AB2+AP12

=

5

，
∴PF=PE-EF=

5

-1
又△EFC∽△PFA，
∴

EC

EF

=

AP

PF

，AP=

EC×PF

EF

=5-

5

，
当AP=5-

5

时，外切；
当AP＞5-

5

时，相交；
当AP＜5-

5

时，外离．
解：（Ⅰ）∵点在直线y=2x+1上，
∴B（0，1）．
又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P₁为圆心，F₁为P₁与直线AC的切点，
∴P₁F₁⊥AC，∠BAF₁+∠ABF₁=90°．
又∵∠AP₁F₁+∠ABF₁=90°，
∴∠AP₁F₁=∠BAF₁．
在Rt△ABC和Rt△P₁AB中，
∵∠BP₁A=∠CAB，
∴Rt△BP₁A∽Rt△CAB．
∴

AB

BC

=

AP1

AB

，AP1=

AB2

BC

=

22

4

=1；

（Ⅱ）PD=4-m，过P作BC的垂线，垂足为G，
∵PF∥P₁F₁，P₁P∥BE，
∴四边形P₁PEB为平行四边形，
∴P₁B=PE．
又PG=AB，
∴Rt△BAP₁≌Rt△PGE，AP₁=GE=1．
∴EC=CG+GE=PD+GE=5-m，
∴s=-2m+9．（6分）
1≤m＜4；

（Ⅲ）当EF=1时，
∵△EFC∽△ABC，
∴

EF

EC

=

AB

AC

=

5

5

，EC=

5

，
∵PE=BP1=

AB2+AP12

=

5

，
∴PF=PE-EF=

5

-1
又△EFC∽△PFA，
∴

EC

EF

=

AP

PF

，AP=

EC×PF

EF

=5-

5

，
当AP=5-

5

时，外切；
当AP＞5-

5

时，相交；
当AP＜5-

5

时，外离．