试题

（2010·萝岗区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
（1）用尺规作图的方法，过B点作∠ABC的平分线交AC于D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC=BD=AD；
（3）求证：AD²=AC·DC；
（4）设

CD

DA

=x，求x．

（1）解：如图，

（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°．
∴∠BDC=72°．
∴BC=BD=AD．

（3）证明：∵∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC．
∴

BC

CD

=

AC

BC

，
又BC=BD=AD，
∴AD²=AC·DC．

（4）解：∵AD²=AC·DC，

CD

DA

=x，AC=AD+CD，
∴AD²=（AD+CD）·CD，
AD²=（AD+x·AD）·x·AD，
x（1+x）=1，
x²+x-1=0，
x=

-1± 5

2

（负值舍去）．
即x=

5 -1

2

．
（1）解：如图，

（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°．
∴∠BDC=72°．
∴BC=BD=AD．

（3）证明：∵∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC．
∴

BC

CD

=

AC

BC

，
又BC=BD=AD，
∴AD²=AC·DC．

（4）解：∵AD²=AC·DC，

CD

DA

=x，AC=AD+CD，
∴AD²=（AD+CD）·CD，
AD²=（AD+x·AD）·x·AD，
x（1+x）=1，
x²+x-1=0，
x=

-1± 5

2

（负值舍去）．
即x=

5 -1

2

．