试题

（2012·济南）如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2

3

，AC，BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．
①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB为直角三角形，且OA=

1

2

AC=1，OB=

1

2

BD=

3

．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=

OA2+OB2

=

12+( 3 )2

=2．

（2）①△AEF是等边三角形．理由如下：
∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，
∴△ABC与△ACD均为等边三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE与△ACF中，
∵

∠BAE=∠CAF AB=AC=2 ∠EBA=∠FCA=60°

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，
∴CE=

1

2

，BE=

3

2

．
由①知△ABE≌△ACF，
∴CF=BE=

3

2

．
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），
∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），
∠EGA=∠CGF（对顶角）
∴∠EAC=∠GFC．
在△CAE与△CFG中，
∵

∠EAC=∠GFC ∠ACE=∠FCG=60°

，
∴△CAE∽△CFG，
∴

CG

CE

=

CF

AC

，即

CG

1 2

=

3 2

2

，
解得：CG=

3

8

．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB为直角三角形，且OA=

1

2

AC=1，OB=

1

2

BD=

3

．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=

OA2+OB2

=

12+( 3 )2

=2．

（2）①△AEF是等边三角形．理由如下：
∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，
∴△ABC与△ACD均为等边三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE与△ACF中，
∵

∠BAE=∠CAF AB=AC=2 ∠EBA=∠FCA=60°

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，
∴CE=

1

2

，BE=

3

2

．
由①知△ABE≌△ACF，
∴CF=BE=

3

2

．
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），
∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），
∠EGA=∠CGF（对顶角）
∴∠EAC=∠GFC．
在△CAE与△CFG中，
∵

∠EAC=∠GFC ∠ACE=∠FCG=60°

，
∴△CAE∽△CFG，
∴

CG

CE

=

CF

AC

，即

CG

1 2

=

3 2

2

，
解得：CG=

3

8

．