试题

（2012·眉山）已知：如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于E点，交DF于M，F是BC延长线上一点，且CE=CF．
（1）求证：BM⊥DF；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB．

（1）证明：在△BCE和△DCF中，
∵

BC=DC(正方形的性质) ∠BCE=∠DCF=90° CE=CF(已知)

，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC=∠FDC（全等三角形的对应边相等），即∠EBC=∠EDM，
在△BCE和△DME中，
∵

∠EBC=∠EDM ∠BEC=∠DEM(对顶角相等)

，
∴△BCE∽△DME，
∴∠BCE=∠DME=90°（相似三角形的对应角相等），即BM⊥DF；

（2）解：∵BC=2，
∴BD=2

2

．
又∵BE平分∠DBC交DF于M，BM⊥DF，
∴BD=BF（等腰三角形“三合一”的性质），DM=FM，
∴CF=2

2

-2．
在△BMF和△DME中，
∠MBF=∠MDE，∠BMF=∠DME=90°，
∴△BMF∽△DME，
∴

BM

DM

=

MF

ME

，
∴

BM

DM

=

DM

ME

，即ME·MB=MD²，
∵DC²+FC²=（2DM）²，即2²+（2

2

-2）²=4DM²，
∴DM²=4-2

2

，即ME·MB=4-2

2

．
（1）证明：在△BCE和△DCF中，
∵

BC=DC(正方形的性质) ∠BCE=∠DCF=90° CE=CF(已知)

，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC=∠FDC（全等三角形的对应边相等），即∠EBC=∠EDM，
在△BCE和△DME中，
∵

∠EBC=∠EDM ∠BEC=∠DEM(对顶角相等)

，
∴△BCE∽△DME，
∴∠BCE=∠DME=90°（相似三角形的对应角相等），即BM⊥DF；

（2）解：∵BC=2，
∴BD=2

2

．
又∵BE平分∠DBC交DF于M，BM⊥DF，
∴BD=BF（等腰三角形“三合一”的性质），DM=FM，
∴CF=2

2

-2．
在△BMF和△DME中，
∠MBF=∠MDE，∠BMF=∠DME=90°，
∴△BMF∽△DME，
∴

BM

DM

=

MF

ME

，
∴

BM

DM

=

DM

ME

，即ME·MB=MD²，
∵DC²+FC²=（2DM）²，即2²+（2

2

-2）²=4DM²，
∴DM²=4-2

2

，即ME·MB=4-2

2

．