如图，在·ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6sqrt{3}，AF=...-青果题库-青果学院

题目：

（2013·巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6

3

，AF=4

3

，求AE的长．

答案

（1）证明：∵·ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，

∠AFD=∠C

∠ADF=∠DEC

∴△ADF∽△DEC．

（2）解：∵·ABCD，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

，∴DE=

AD·CD

AF

=

6

3

×8

4

3

=12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=

DE2-AD2

=

122-(6

3

)2

=6．
（1）证明：∵·ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，