试题

题目：
青果学院（2009·徐汇区一模）如图，∠ABC=∠DCB=90°，AB=BC，点E是BC的中点，EA⊥ED．
求证：（1）△ABE∽△ECD；
（2）∠EAD=∠EAB．
答案
证明：（1）∵∠BAE+∠BEA=90°
∠DEC+∠BEA=90°（2分）
∴∠BAE=∠DEC（1分）
又∵∠ABE=∠ECD=90°
∴△ABE∽△ECD（1分）

（2）∵点E是BC的中点
∴CE=BE=
1
2
BC（1分）
∵AB=BC∴CE=BE=
1
2
AB（1分）
∵△ABE∽△ECD
∴
DE
AE
=
CE
AB
=
1
2
（1分）
∵
BE
AB
=
1
2

∴
DE
AE
=
BE
AB
（1分）
∵EA⊥ED
∴∠DEA=90°=∠ABC
∴△AED∽△ABE（1分）
∴∠EAD=∠EAB（1分）
证明：（1）∵∠BAE+∠BEA=90°
∠DEC+∠BEA=90°（2分）
∴∠BAE=∠DEC（1分）
又∵∠ABE=∠ECD=90°
∴△ABE∽△ECD（1分）

（2）∵点E是BC的中点
∴CE=BE=
1
2
BC（1分）
∵AB=BC∴CE=BE=
1
2
AB（1分）
∵△ABE∽△ECD
∴
DE
AE
=
CE
AB
=
1
2
（1分）
∵
BE
AB
=
1
2

∴
DE
AE
=
BE
AB
（1分）
∵EA⊥ED
∴∠DEA=90°=∠ABC
∴△AED∽△ABE（1分）
∴∠EAD=∠EAB（1分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）由已知得∠BAE+∠BEA=90°，∠DEC+∠BEA=90°，等量代换得∠BAE=∠DEC，再由∠ABE=∠ECD=90°证得△ABE∽△ECD；
（2）由AB=BC，点E是BC的中点，CE=BE=
1
2
AB，再由△ABE∽△ECD推出
DE
AE
=
BE
AB
，已知EA⊥ED推出∠DEA=90°=∠ABC，所以△AED∽△ABE，从而得出∠EAD=∠EAB．
此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，关键是由已知证明角相等推出三角形相似；通过已知推出三角形相似得出角相等．
证明题．
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