试题

（2009·漳州质检）基本模型
如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△ABP∽△PCD成立，
（1）模型拓展
如图1，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C，则△ABP∽△PCD成立吗？为什么？
（2）模型应用
①如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于点Q，求CQ的长；
②如图3，正方形ABCD的边长为1，点P是线段BC上的动点，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，当P在何处时，线段CQ最长？最长是多少？

解：（1）成立，
∵∠A=180°-（∠B+∠APB），
∠CPD=180°-（∠1+∠APB），
∠B=∠1，
∴∠A=∠CPD，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；

（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠APQ，
∴∠B=∠APQ=∠C，
由（1）知，△ABP∽△PCD，
∴

CQ

BP

=

PC

AB

，
∴

CQ

1

=

3

2

，
∴CQ=

3

2

；
②设BP=x，CQ=y．
∵∠B=∠APQ=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴

CQ

BP

=

PC

AB

，即

y

x

=

1-x

1

，
∴y=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

，
∴当x=

1

2

时，y_最大=

1

4

，
即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为

1

4

．
解：（1）成立，
∵∠A=180°-（∠B+∠APB），
∠CPD=180°-（∠1+∠APB），
∠B=∠1，
∴∠A=∠CPD，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；

（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠APQ，
∴∠B=∠APQ=∠C，
由（1）知，△ABP∽△PCD，
∴

CQ

BP

=

PC

AB

，
∴

CQ

1

=

3

2

，
∴CQ=

3

2

；
②设BP=x，CQ=y．
∵∠B=∠APQ=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴

CQ

BP

=

PC

AB

，即

y

x

=

1-x

1

，
∴y=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

，
∴当x=

1

2

时，y_最大=

1

4

，
即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为

1

4

．