试题

（2010·白云区一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为BC边上的动点（D不与B、C重合），∠ADE=45°，DE交AC于点E．
（1）∠BAD与∠CDE的大小关系为．请证明你的结论；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长；
（4）是否存在x，使△DCE的面积是△ABD面积的2倍？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由．

（本小题满分14分）
解：（1）相等；（1分）
证明如下：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．如图1，
∵∠1+∠B+∠ADB=180°，
∴∠1+∠ADB=180°-∠B=135°．
又∵∠2+∠ADE+∠ADB=180°，
∴∠2+∠ADB=180°-∠ADE（2分）
=180°-45°=135°，
即∠1+∠ADB=∠2+∠ADB，
∴∠1=∠2．（3分）

（2）由（1）知∠1=∠2，又∵∠B=∠C=45°，
∴△DCE∽△ABD．（4分）
若BD=x，则CD=BC-BD=2

2

-x，
由△DCE∽△ABD得

CE

BD

=

CD

AB

，即

CE

x

=

2 2 -x

2

，
CE=

1

2

（2

2

-x）x，
=-

1

2

x²+

2

x，（5分）
y=AE=AC-CE=2-（-

1

2

x²+

2

x）
∴y=

1

2

x²-

2

x+2，（6分）
其中0＜x＜2

2

．（7分）

（3）解：∵点D不能与B点重合，∴AD=AE不能成立（8分）
（或：∵∠ADE=45°，若AD=AE，
则∠AED=ADE=45°，从而∠DAE=90°，
即B与D重合，这与已知条件矛盾）．
①当AE、DE为腰，即AE=DE时（如图2），
∠EAD=∠EDA=45°，此时，AD平分∠BAC，
∴D为BC边的中点（“三线合一”性质），
且E也为AC边的中点，∴AE=1；（9分）
②当AD、DE为腰，即AD=DE时（如图3），
由（1）△ABD∽△DCE知，此时AD与DE为对应边，
∴△ABD≌△DCE，DC=AB=2，
BD=BC-CD=2

2

-2，AE=AC-EC
=2-BD=2-（2

2

-2）=4-2

2

；（10分）
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，
AE的长为1或4-2

2

；（11分）


（4）不存在．（12分）
原因如下：∵△DCE∽△ABD，若△DCE的面积是△ABD面积的2倍，则

S△CDE

S△ABD

=2，
从而

CE

BD

=

2

，CE=

2

BD，-

1

2

x²+

2

x=

2

x，
解得x=0，即BD=0，就是说D点与B点重合，（13分）
这与已知条件矛盾，
∴不存在x，使△DCE的面积是△ABD面积的2倍．（14分）