试题

（2010·宝山区一模）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．
（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；
（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；
（3）过点A作AC⊥AB，AC交射线PQ于点C，连接BC，D是BC的中点．在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出这时cot∠ABC的值；若不存在，试说明理由．

解：（1）根据题意，可得：A（4，0）、B（0，3），AB=5．
ⅰ）当∠BAQ=90°时，△AOB∽△BAQ，
∴BQ：AB=AB：AO．解得 BQ=

25

4

；
ⅱ）当∠BQA=90°时，BQ=OA=4，
∴Q （

25

4

，3）或Q（4，3）．（4分）


（2）令点P翻折后落在线段AB上的点E处，
则∠EAQ=∠PAQ，∠EQA=∠PQA，AE=AP，QE=QP；
又∵BQ∥OP，
∴∠PAQ=∠BQA，
∴∠EAQ=∠BQA，
即AB=QB=5．
∴AP=

1

2

BQ=

5

2

，
∴AE=AP=

5

2

=

1

2

AB，即点E是AB的中点．
过点E作EF⊥BQ，垂足为点F，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H，
则 EF=

3

2

，PH=

3

2

，∴EF=PH．
又∵EQ=PQ，∠EFQ=∠PHQ=90°，
∴△EQF≌△PHQ，
∴∠EQF=∠PQH，从而∠PQE=90°．
∴∠AQP=∠AQE=45°．（8分）


（3）当点C在线段PQ上时，延长BQ与AC的延长线交于点F，
∵AC⊥AB，
∴△AOB∽△FHA．
∴AB：FA=AO：FH，即5：FA=4：3，
∴FA=

15

4

．
∵DQ∥AC，DQ=AC，且D为BC中点，
∴FC=2DQ=2AC．
∴AC=

5

4

．
在Rt△BAC中，cot∠ABC=4；
当点C在PQ的延长线上时，记BQ与AC的交点为F，记AD与BQ的交点为G，
∵CQ∥AD，CQ=AD且D为BC中点，
∴AD=CQ=2DG．
∴CQ=2AG
∵BQ∥OP，AD∥PC，
∴AG=PQ，
∴CQ=2PQ．
∴FC=2AF．
∴AC=

45

4

．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=

9

4

．
即cot∠ABC=

1

tan∠ABC

=

4

9

（12分）
解：（1）根据题意，可得：A（4，0）、B（0，3），AB=5．
ⅰ）当∠BAQ=90°时，△AOB∽△BAQ，
∴BQ：AB=AB：AO．解得 BQ=

25

4

；
ⅱ）当∠BQA=90°时，BQ=OA=4，
∴Q （

25

4

，3）或Q（4，3）．（4分）


（2）令点P翻折后落在线段AB上的点E处，
则∠EAQ=∠PAQ，∠EQA=∠PQA，AE=AP，QE=QP；
又∵BQ∥OP，
∴∠PAQ=∠BQA，
∴∠EAQ=∠BQA，
即AB=QB=5．
∴AP=

1

2

BQ=

5

2

，
∴AE=AP=

5

2

=

1

2

AB，即点E是AB的中点．
过点E作EF⊥BQ，垂足为点F，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H，
则 EF=

3

2

，PH=

3

2

，∴EF=PH．
又∵EQ=PQ，∠EFQ=∠PHQ=90°，
∴△EQF≌△PHQ，
∴∠EQF=∠PQH，从而∠PQE=90°．
∴∠AQP=∠AQE=45°．（8分）


（3）当点C在线段PQ上时，延长BQ与AC的延长线交于点F，
∵AC⊥AB，
∴△AOB∽△FHA．
∴AB：FA=AO：FH，即5：FA=4：3，
∴FA=

15

4

．
∵DQ∥AC，DQ=AC，且D为BC中点，
∴FC=2DQ=2AC．
∴AC=

5

4

．
在Rt△BAC中，cot∠ABC=4；
当点C在PQ的延长线上时，记BQ与AC的交点为F，记AD与BQ的交点为G，
∵CQ∥AD，CQ=AD且D为BC中点，
∴AD=CQ=2DG．
∴CQ=2AG
∵BQ∥OP，AD∥PC，
∴AG=PQ，
∴CQ=2PQ．
∴FC=2AF．
∴AC=

45

4

．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=

9

4

．
即cot∠ABC=

1

tan∠ABC

=

4

9

（12分）