试题

题目：
（2010·常熟市模拟）如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC于点P、交⊙O于点D，连接DB、DC，在AD上取一点青果学院I，使DI=DB．
（1）求证：DI2=DP·AD；    
（2）求证：∠ABI=∠CBI；
（3）若⊙O的半径为
3
，∠BAC=120°，求△BDC的面积？
答案
证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BDA=∠BDP，
∴△BDA∽△PDB，
∴BD2=AD·DP，
∵DI=DB，
∴DI2=DP·AD；

（2）∵DI=DB，
∴∠IBD=∠BID
∵∠CBI=∠IBD-∠CBD，∠ABI=∠BID-∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI；

（3）∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠CBD=∠BCD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∵⊙O的半径为
3
，
∴BC=3，
∴S△BDC=
9
3
4
．
证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BDA=∠BDP，
∴△BDA∽△PDB，
∴BD2=AD·DP，
∵DI=DB，
∴DI2=DP·AD；

（2）∵DI=DB，
∴∠IBD=∠BID
∵∠CBI=∠IBD-∠CBD，∠ABI=∠BID-∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI；

（3）∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠CBD=∠BCD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∵⊙O的半径为
3
，
∴BC=3，
∴S△BDC=
9
3
4
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．
（1）根据题意可推出∠BAD=∠CBD，即可推出△BDA∽△PDB，所以BD2=AD·DP，即DI2=DP·AD；
（2）根据题意和外角的性质，即可推出∠IBD=∠BID，∠CBI=∠IBD-∠CBD，∠ABI=∠BID-∠BAD，即∠ABI=∠CBI；
（3）根据题意可推出△BCD为等边三角形，由⊙O的半径即可推出BC的长度和△BCD的面积．
本题主要考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理，关键在于熟练地运用个定理性质，求△BDA∽△PDB，△BCD为等边三角形．
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