试题

（2010·大连一模）如图1，在△OAB和△OCD中，∠A＜90°，OB=kOD（k＞1），∠AOB=∠COD，∠OAB与∠OCD互补．试探索线段AB与CD的数量关系，并证明你的结论．
说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）（2）中的一个条件，（1）k=1（如图2）；（2）C在OA上，点D与点B重合（如图3）．

解：结论是AB=kCD．理由如下：（1分）
在OA上取一点E，使OE=kOC，连接EB．（2分）
∵OB=kOD，
∴

OB

OD

=

OE

OC

=k（3分）
∵∠AOB=∠COD
∴△OEB∽△OCD（4分）
∴

EB

CD

=

OB

OD

=k，即EB=kCD
∠OEB=∠OCD（6分）
∵∠OAB+∠OCD=180°，
∴∠OAB+∠OEB=180°，
∵∠AEB+∠OEB=180°，
∴∠OAB=∠AEB，（7分）
∴EB=AB，（8分）
∴AB=kCD．（9分）

选择（1）
结论：AB=CD（1分）
证明：在OA上取一点E，使OE=OC，连接EB．（2分）
∵OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴△OEB≌△OCD，（3分）
∴EB=CD，∠OEB=∠OCD，（4分）
∵∠OAB+∠OCD=180°，
∴∠OAB+∠OEB=180°，
∵∠AEB+∠OEB=180°，
∴∠OAB=∠AEB，（5分）
∴EB=AB．（6分）
∴AB=CD（7分）

选择（2）
结论：AB=CD（1分）
证明：∵∠OAB+∠OCB=180°，
∵∠ACB+∠OCB=180°，
∴∠OAB=∠ACB，（2分）
∴CB=AB，
即AB=CD．（3分）
解：结论是AB=kCD．理由如下：（1分）
在OA上取一点E，使OE=kOC，连接EB．（2分）
∵OB=kOD，
∴

OB

OD

=

OE

OC

=k（3分）
∵∠AOB=∠COD
∴△OEB∽△OCD（4分）
∴

EB

CD

=

OB

OD

=k，即EB=kCD
∠OEB=∠OCD（6分）
∵∠OAB+∠OCD=180°，
∴∠OAB+∠OEB=180°，
∵∠AEB+∠OEB=180°，
∴∠OAB=∠AEB，（7分）
∴EB=AB，（8分）
∴AB=kCD．（9分）

选择（1）
结论：AB=CD（1分）
证明：在OA上取一点E，使OE=OC，连接EB．（2分）
∵OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴△OEB≌△OCD，（3分）
∴EB=CD，∠OEB=∠OCD，（4分）
∵∠OAB+∠OCD=180°，
∴∠OAB+∠OEB=180°，
∵∠AEB+∠OEB=180°，
∴∠OAB=∠AEB，（5分）
∴EB=AB．（6分）
∴AB=CD（7分）

选择（2）
结论：AB=CD（1分）
证明：∵∠OAB+∠OCB=180°，
∵∠ACB+∠OCB=180°，
∴∠OAB=∠ACB，（2分）
∴CB=AB，
即AB=CD．（3分）