试题

（2010·邯郸一模）在平面直角坐标中，Rt△OAB的两顶点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点O是原点．其中点A（0，3），B（4，0），OC是Rt△OAB的高，点P以每秒1个单位长的速度在线段OB上由点O向点B运动（与端点不重合），过点P作PD⊥AP交AB于点D，设运动时间为t秒．
（1）若△AOE的面积为

3

2

，求点E的坐标；
（2）求证：△AOE∽△PBD；
（3）△PBD能否是等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当t=3时，直接写出此时

AE

EP

的值．

（1）解：过点E作EF⊥OA于点F，
∵△AOE的面积为

3

2

，OA=3，
∴EF=1；
∵∠EOF=∠ABO=90°-∠BOC，
∠EFO=∠AOB=90°，
∴△OEF∽△BAO，

EF

AO

=

OF

BO

，即

1

3

=

OF

4

，所以OF=

4

3

，
∴点E的坐标为（1，

4

3

）．

（2）证明：∵Rt△OAB中，OC为斜边AB边上的高，
∴∠EOA+∠OAC=90°，∠DBP+∠OAC=90°，
∴∠EOA=∠DBP，
∴∠EOA=∠DBP=90°-∠BOC，
∠AEO=∠PDB=90°+∠PAB，
∴△AOE∽△PBD．

（3）△PBD可以是等腰三角形，
∵∠PDB=90°+∠PAB＞90°，
∴如果△PBD是等腰三角形，∠PDB只能顶角，即DP=DB，
当△PDB是等腰三角形，∵△AOE∽△PBD，
∴△AOE是等腰三角形，且EA=EO；
过点E作EF⊥AO于点F，则AF=OF=

3

2

；
∵△OEF∽△BAO，
∴

EF

AO

=

OF

BO

，即

EF

3

=

3 2

4

，所以EF=

9

8

，
∵△AFE∽△AOP，
∴

AF

AO

=

EF

PO

，即

3 2

3

=

9 8

t

，所以t=

9

4

，
∴当△PBD是等腰三角形时，t=

9

4

；

（4）当t=3时，

AE

EP

=

3

4

．
（1）解：过点E作EF⊥OA于点F，
∵△AOE的面积为

3

2

，OA=3，
∴EF=1；
∵∠EOF=∠ABO=90°-∠BOC，
∠EFO=∠AOB=90°，
∴△OEF∽△BAO，

EF

AO

=

OF

BO

，即

1

3

=

OF

4

，所以OF=

4

3

，
∴点E的坐标为（1，

4

3

）．

（2）证明：∵Rt△OAB中，OC为斜边AB边上的高，
∴∠EOA+∠OAC=90°，∠DBP+∠OAC=90°，
∴∠EOA=∠DBP，
∴∠EOA=∠DBP=90°-∠BOC，
∠AEO=∠PDB=90°+∠PAB，
∴△AOE∽△PBD．

（3）△PBD可以是等腰三角形，
∵∠PDB=90°+∠PAB＞90°，
∴如果△PBD是等腰三角形，∠PDB只能顶角，即DP=DB，
当△PDB是等腰三角形，∵△AOE∽△PBD，
∴△AOE是等腰三角形，且EA=EO；
过点E作EF⊥AO于点F，则AF=OF=

3

2

；
∵△OEF∽△BAO，
∴

EF

AO

=

OF

BO

，即

EF

3

=

3 2

4

，所以EF=

9

8

，
∵△AFE∽△AOP，
∴

AF

AO

=

EF

PO

，即

3 2

3

=

9 8

t

，所以t=

9

4

，
∴当△PBD是等腰三角形时，t=

9

4

；

（4）当t=3时，

AE

EP

=

3

4

．