试题

题目：
（2010·虹口区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=12，AD=18，AB=10．动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点青果学院C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当点P在线段DA上运动时，连接BD，若∠ABP=∠ADB，求t的值；
（2）当点P在线段DA上运动时，若以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，求t的值；
（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能，请直接写出t的值；如果不能，请说明理由．
答案
解：（1）已知动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度，
可得：DP=2t，AP=18-2t，
∵∠ABP=∠ADB，∠A=∠A，
∴△ABP∽△ADB，
∴
AB
AD
=
AP
AB
，
即AB2=AD·AP，
∴102=18×（18-2t），
解得：t=
56
9
．
∵
56
9
＜9，
∴t=
56
9
．

（2）过点B作BH⊥AD，垂足为H，得BH=8，
记BQ中点为O1、AP中点为O2，连接O1O2，
过点O1作O1I⊥AD，垂足为I，则O1I=BH=8，
BO1=
t
2
，CO1=12-
t
2
，AO2=
18-2t
2
=9-t，
DO2=9+t，
∴O2I=|(9+t)-(12-
t
2
)|=|
3t
2
-3|，青果学院
当O1O2=BO1+AO2=
t
2
+(9-t)=9-
t
2
时
以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，在Rt△O1IO2中，O1O22=O1I2+O2I2，
即(9-
t
2
)2=82+(
3t
2
-3)2，整理得：t2=4，
∵t＞0，
∴t=2；

（3）能，青果学院
①当EP=EA时，∠EPA=∠A，
此时四边形QPAB是等腰梯形，
∴BQ=PA-12，
∴t=18-2t-12，
∴t=2；
②当EP=PA时，
PM=PA-MN-AN=18-2t-t-6=12-3t，
EQ=BQ=t，
∴PQ=EP-EQ=18-2t-t=18-3t，
∵PQ2=PM2+QM2，
∴（18-3t）2=（12-3t）2+64，
解得：t=
29
9
；
③当AE=AP时，
∵AB=10，
∴EB=EA-AB=18-2t-10=8-2t，
∵
QB
PA
=
EB
EA
，
即
t
18-2t
=
8-2t
18-2t
，
解得：t=
8
3
；
④当点P在DA延长线上
AP=AE（钝角三角形）
AP=2t-18，
AE=10-t
2t-18=10-t
解得：t=
28
3

t的值可以是t=
29
9
或t=
8
3
或t=2或
28
3
．
解：（1）已知动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度，
可得：DP=2t，AP=18-2t，
∵∠ABP=∠ADB，∠A=∠A，
∴△ABP∽△ADB，
∴
AB
AD
=
AP
AB
，
即AB2=AD·AP，
∴102=18×（18-2t），
解得：t=
56
9
．
∵
56
9
＜9，
∴t=
56
9
．

（2）过点B作BH⊥AD，垂足为H，得BH=8，
记BQ中点为O1、AP中点为O2，连接O1O2，
过点O1作O1I⊥AD，垂足为I，则O1I=BH=8，
BO1=
t
2
，CO1=12-
t
2
，AO2=
18-2t
2
=9-t，
DO2=9+t，
∴O2I=|(9+t)-(12-
t
2
)|=|
3t
2
-3|，青果学院
当O1O2=BO1+AO2=
t
2
+(9-t)=9-
t
2
时
以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，在Rt△O1IO2中，O1O22=O1I2+O2I2，
即(9-
t
2
)2=82+(
3t
2
-3)2，整理得：t2=4，
∵t＞0，
∴t=2；

（3）能，青果学院
①当EP=EA时，∠EPA=∠A，
此时四边形QPAB是等腰梯形，
∴BQ=PA-12，
∴t=18-2t-12，
∴t=2；
②当EP=PA时，
PM=PA-MN-AN=18-2t-t-6=12-3t，
EQ=BQ=t，
∴PQ=EP-EQ=18-2t-t=18-3t，
∵PQ2=PM2+QM2，
∴（18-3t）2=（12-3t）2+64，
解得：t=
29
9
；
③当AE=AP时，
∵AB=10，
∴EB=EA-AB=18-2t-10=8-2t，
∵
QB
PA
=
EB
EA
，
即
t
18-2t
=
8-2t
18-2t
，
解得：t=
8
3
；
④当点P在DA延长线上
AP=AE（钝角三角形）
AP=2t-18，
AE=10-t
2t-18=10-t
解得：t=
28
3

t的值可以是t=
29
9
或t=
8
3
或t=2或
28
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；直角梯形；切线的性质．
（1）由已知动点P和动点Q的速度，可以用t表示出DP和AP，由∠ABP=∠ADB，∠A=∠A可得到△ABP∽△ADB，即AB2=AD·AP，把已知数据和含t的代数式代入得到关于t的一元一次方程，从而求出t的值．
（2）过点B作BH⊥AD，垂足为H，得直角三角形BHA，由已知AH=AD-BC，根据勾股定理求出BH，设BQ中点为O1、AP中点为O2即两个圆的圆心，再过O1作O1I⊥AD，垂足为I，连接O1O2，得直角三角形O1IO2，由已知得出O1I，以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，所以O1O2=BO1+AO2，由已知O2I=DO2-DI，在直角三角形O1IO2个边已求出，把求出的含t的代数式代入
O1O22=O1I2+O2I2，得关于t的一元二次方程，从而求出t．
（3）假设能为等腰三角形，可通过等腰三角形求出符合的t的值．
此题考查了相似三角形的判定和性质、直角梯形和切线的性质，解答此题的关键一是通过相似形求t的值，再是通过作辅助线得直角三角形根据勾股定理列方程求t的值．第三是由等腰三角形计算出符合条件的t的值．
动点型．
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