试题

（2010·葫芦岛二模）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P从点B出发沿BA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，点Q从点A出发沿折线AC--CB--BA以每秒2个单位长的速度匀速运动，伴随着P、Q的运动，PE保持平行AC，且交BC于点E．点P、Q同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点都停止运动，连接EQ．若设运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：
（1）当t=1时，PE=，QC=；
（2）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（3）设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（4）是否存在某一时刻t，使△PQE为等腰三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

解：（1）∵△ABC是Rt△，且AC=4，BC=3，由勾股定理得
AB=

32+42

=5
当t=1时，PB=1，AQ=2
∴QC=2
∵PE∥AC
∴△BPE∽△BAC
∴

PB

AB

=

PE

AC

∴

1

5

=

PE

4

∴PE=

4

5

（2）由题意得；
5-t+2t=t+3+4-2t
解得：t=1

（3）∵PE∥AC
∴△BPE∽△BAC
∴

PB

AB

=

BE

BC

∴

t

5

=

BE

3

∴BE=

3

5

t
∴EC=3-

3

5

t
∴y=

2t(3- 3 5 t)

2

y=-

3

5

t2+3t（0≤t≤2）
∴当2＜t≤

7

2

时
y=

(5-t)( 28 5 - 8 5 t)

2

y=

4

5

t2-

34

5

t+14

（4）由题意得：
t-（2t-7）=

4

5

t
解得：t=

35

9