试题

（2009·沙市区二模）如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB·AF=CB·CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点，设DP=xcm（x＞0）．当x为何值时，△PBC的周长最小．

（1）证明：∵∠DAB=90°，
∴∠DAF+∠BAC=90°．
∵DF⊥AC，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAC=∠ADF，
又∵∠DFA=∠ACB，
∴△DFA∽△ACB．
∴

AF

BC

=

AD

AB

．
∴AF·AB=BC·AD．
∵AD=CD，
∴AB·AF=CB·CD．

（2）解：C_△PBC=PB+PC+BC，
∵AD=CD，DF⊥AC，
∴DE是AC的垂直平分线．
∴PC=PA根据两点之间线段最短，当点P在AB上时，PA+PB最小即点P与E重合时，△PBC周长最小．
∵∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=12．
∴AF=

1

2

AC=6．
∵AF·AB=CB·AD，即6×15=9·AD，
∴AD=10．
∵FE是△ABC中位线，
∴AE=

1

2

AB=7.5．
∴DE=

AD2+AE2

=12.5．
∴x=12.5时，△PBC周长最小．
（1）证明：∵∠DAB=90°，
∴∠DAF+∠BAC=90°．
∵DF⊥AC，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAC=∠ADF，
又∵∠DFA=∠ACB，
∴△DFA∽△ACB．
∴

AF

BC

=

AD

AB

．
∴AF·AB=BC·AD．
∵AD=CD，
∴AB·AF=CB·CD．

（2）解：C_△PBC=PB+PC+BC，
∵AD=CD，DF⊥AC，
∴DE是AC的垂直平分线．
∴PC=PA根据两点之间线段最短，当点P在AB上时，PA+PB最小即点P与E重合时，△PBC周长最小．
∵∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=12．
∴AF=

1

2

AC=6．
∵AF·AB=CB·AD，即6×15=9·AD，
∴AD=10．
∵FE是△ABC中位线，
∴AE=

1

2

AB=7.5．
∴DE=

AD2+AE2

=12.5．
∴x=12.5时，△PBC周长最小．