试题
题目:
(2013·泸州)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD
2
=CA·CB;
(2)求证:CD是⊙O的切线;
(3)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=
2
3
,求BE的长.
答案
(1)证明:∵∠CDA=∠CBD,∠C=∠C,
∴△ADC∽△DBC,
∴
AC
DC
=
DC
BC
,即CD
2
=CA·CB;
(2)证明:如图,连接OD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∵OA=OD,
∴∠2=∠3,
∴∠1+∠2=90°.
又∠CDA=∠CBD,即∠4=∠1,
∴∠4+∠2=90°,即∠CDO=90°,
∴OD⊥CD.
又∵OD是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(3)解:如图,连接OE.
∵EB、CD均为⊙O的切线,
∴ED=EB,OE⊥DB,
∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°,
∴∠ABD=∠OEB,
∴∠CDA=∠OEB.
而tan∠CDA=
2
3
,
∴tan∠OEB=
OB
BE
=
2
3
,
∵Rt△CDO∽Rt△CBE,
∴
CD
CB
=
OD
BE
=
OB
BE
=
2
3
,
∴CD=8,
在Rt△CBE中,设BE=x,
∴(x+8)
2
=x
2
+12
2
,
解得x=5.
即BE的长为5.
(1)证明:∵∠CDA=∠CBD,∠C=∠C,
∴△ADC∽△DBC,
∴
AC
DC
=
DC
BC
,即CD
2
=CA·CB;
(2)证明:如图,连接OD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∵OA=OD,
∴∠2=∠3,
∴∠1+∠2=90°.
又∠CDA=∠CBD,即∠4=∠1,
∴∠4+∠2=90°,即∠CDO=90°,
∴OD⊥CD.
又∵OD是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(3)解:如图,连接OE.
∵EB、CD均为⊙O的切线,
∴ED=EB,OE⊥DB,
∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°,
∴∠ABD=∠OEB,
∴∠CDA=∠OEB.
而tan∠CDA=
2
3
,
∴tan∠OEB=
OB
BE
=
2
3
,
∵Rt△CDO∽Rt△CBE,
∴
CD
CB
=
OD
BE
=
OB
BE
=
2
3
,
∴CD=8,
在Rt△CBE中,设BE=x,
∴(x+8)
2
=x
2
+12
2
,
解得x=5.
即BE的长为5.
考点梳理
考点
分析
点评
专题
切线的判定;相似三角形的判定与性质.
(1)通过相似三角形(△ADC∽△DBC)的对应边成比例来证得结论;
(2)如图,连接OD.欲证明CD是⊙O的切线,只需证明CD⊥OA即可;
(3)通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程,通过解方程来求线段BE的长度即可.
本题考查了切线的判定与性质:过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线;也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质.
压轴题.
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