试题

（2013·十堰）如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．
（1）求证：⊙O与CB相切于点E；
（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．

（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，
∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，
∴OE=OD，
∴圆O与CB相切于点E；

（2）解：∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH=

1

2

AB=3，
∴CH=

CA2-AH2

=4，
∵点O在高CH上，圆O过点H，
∴圆O与AB相切于H点，
由（1）得圆O与CB相切于点E，
∴BE=BH=3，
如图，过E作EF⊥AB，则EF∥CH，
∴△BEF∽△BCH，
∴

BE

BC

=

EF

CH

，即

3

5

=

EF

4

，
解得：EF=

12

5

，
∴S_△BHE=

1

2

BH·EF=

1

2

×3×

12

5

=

18

5

，
在Rt△BEF中，BF=

BE2-EF2

=

9

5

，
∴HF=BH-BF=3-

9

5

=

6

5

，
则tan∠BHE=

EF

HF

=2．
（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，
∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，
∴OE=OD，
∴圆O与CB相切于点E；

（2）解：∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH=

1

2

AB=3，
∴CH=

CA2-AH2

=4，
∵点O在高CH上，圆O过点H，
∴圆O与AB相切于H点，
由（1）得圆O与CB相切于点E，
∴BE=BH=3，
如图，过E作EF⊥AB，则EF∥CH，
∴△BEF∽△BCH，
∴

BE

BC

=

EF

CH

，即

3

5

=

EF

4

，
解得：EF=

12

5

，
∴S_△BHE=

1

2

BH·EF=

1

2

×3×

12

5

=

18

5

，
在Rt△BEF中，BF=

BE2-EF2

=

9

5

，
∴HF=BH-BF=3-

9

5

=

6

5

，
则tan∠BHE=

EF

HF

=2．