试题

题目：
青果学院（2013·铜仁地区）如图，AC是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连结PC交⊙O于B，连结PA、AB，且满足PC=50，PA=30，PB=18．
（1）求证：△PAB∽△PCA；
（2）求证：AP是⊙O的切线．
答案
青果学院证明：（1）∵PC=50，PA=30，PB=18，
∴
PC
PA
=
50
30
=
5
3
，
PA
PB
=
30
18
=
5
3
，
∴
PC
PA
=
PA
PB
，
又∵∠APC=∠BPA，
∴△PAB∽△PCA；

（2）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABP=90°，
又∵△PAB∽△PCA，
∴∠PAC=∠ABP，
∴∠PAC=90°，
∴PA是⊙O的切线．
青果学院证明：（1）∵PC=50，PA=30，PB=18，
∴
PC
PA
=
50
30
=
5
3
，
PA
PB
=
30
18
=
5
3
，
∴
PC
PA
=
PA
PB
，
又∵∠APC=∠BPA，
∴△PAB∽△PCA；

（2）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABP=90°，
又∵△PAB∽△PCA，
∴∠PAC=∠ABP，
∴∠PAC=90°，
∴PA是⊙O的切线．
考点梳理
切线的判定；相似三角形的判定与性质．
（1）根据△PAB与△PCA的对应边成比例，夹角相等证得结论；
（2）欲证明AP是⊙O的切线，只需证得∠PAC=90°．
本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定．解题时，利用了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．
证明题；压轴题．
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