试题

题目：
已知⊙O的半径为5，由直径AB的端点B作⊙O的切线，从圆周上一点P引该切线的垂线PM，M为垂足，连接PA，设PA=x，则AP+2PM的函数表达式为
AP+2PM=x+
102 - x2
5
=-
1
5
x2 +x+20，（0＜x＜10）
AP+2PM=x+
102 - x2
5
=-
1
5
x2 +x+20，（0＜x＜10）
，此函数的最大值是
85
4
85
4
，最小值是
不存在
不存在
．
答案
AP+2PM=x+
102 - x2
5
=-
1
5
x2 +x+20，（0＜x＜10）

85
4

不存在

青果学院解：如图所示，连接PB，
∵∠PBM=∠BAP，∠BMP=∠APB=90°，
∴△PMB∽△PAB，
∴PM：PB=PB：AB，
∴PM=
PB2
AB
=
102-x2
10
，
∴AP+2PM=x+
102-x2
5
=-
1
5
x2+x+20（0＜x＜10），
∵a=-
1
5
＜0，
∴AP+2PM有最大值，没有最小值，
∴y最大值=
4ac-b2
4a
=
85
4
．
故答案为：AP+2PM=x+
102-x2
5
=-
1
5
x2+x+20（0＜x＜10），
85
4
，不存在．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；切线的性质．
先连接BP，AB是直径，BP⊥BM，所以有，∠BMP=∠APB=90°，又∠PBM=∠BAP，那么有△PMB∽△PAB，
于是PM：PB=PB：AB，可求PM=
PB2
AB
=
102-x2
10
，从而有AP+2PM=x+
102-x2
5
=-
1
5
x2+x+20（0＜x＜10），再根据二次函数的性质，可求函数的最大值．
本题考查了相似三角形的判定和性质、圆中直径所对的圆周角等于90°、求二次函数的最大值、弦切角定理．
计算题．
找相似题