试题

（2008·溧水县二模）已知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为

2

，求正方形ABCD的边长．

（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N．（1分）
∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC．（2分）
∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，∴OM=ON．（3分）
∴CD与⊙O相切；（4分）

（2）解：设正方形ABCD的边长为a．
显然OM∥AB，∴∠OMC=∠B，∠MOC=∠BAC，
∴△COM∽△CAB，（5分）
∴

OM

AB

=

CO

CA

，即

2

a

=

2 a- 2

2 a

（6分）
解得a=

2

+1，（7分）
∴正方形ABCD的边长为

2

+1．
（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N．（1分）
∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC．（2分）
∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，∴OM=ON．（3分）
∴CD与⊙O相切；（4分）

（2）解：设正方形ABCD的边长为a．
显然OM∥AB，∴∠OMC=∠B，∠MOC=∠BAC，
∴△COM∽△CAB，（5分）
∴

OM

AB

=

CO

CA

，即

2

a

=

2 a- 2

2 a

（6分）
解得a=

2

+1，（7分）
∴正方形ABCD的边长为

2

+1．