试题

（2008·绵阳模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长交⊙O于C，交PB的延长线于D．
（1）找出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（不再添加辅助线）；
（2）若PA=2+

2

，∠P=45°，求图中阴影部分的面积．

解：（1）△OBD∽△PAD．
证明：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBD=90°．
又∵∠D=∠D，
∴△OBD∽△PAD；

（2）∵∠P=45°，
∴∠DOB=45°，
∴△OBD、△PAD均是等腰直角三角形，
从而PD=

2

PA，BD=OB，
又∵PA=2+

2

，PA=PB，
∴BD=OB=PD-PB=

2

PA-PA=（

2

-1）PA=（

2

-1）（2+

2

）=

2

，
故S_阴影=S_△OBD-S_扇形=

1

2

·OB·BD-

45

360

π·BD2=

1

2

·

2

×

2

-

1

8

π×2=1-

π

4

．
解：（1）△OBD∽△PAD．
证明：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBD=90°．
又∵∠D=∠D，
∴△OBD∽△PAD；

（2）∵∠P=45°，
∴∠DOB=45°，
∴△OBD、△PAD均是等腰直角三角形，
从而PD=

2

PA，BD=OB，
又∵PA=2+

2

，PA=PB，
∴BD=OB=PD-PB=

2

PA-PA=（

2

-1）PA=（

2

-1）（2+

2

）=

2

，
故S_阴影=S_△OBD-S_扇形=

1

2

·OB·BD-

45

360

π·BD2=

1

2

·

2

×

2

-

1

8

π×2=1-

π

4

．