试题

（2008·松江区二模）已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=4，AD=BC=2，∠ABC=120°．P、Q分别为射线BC和线段CD上的动点，且CQ=2BP．
（1）如图1，当点P为BC的中点时，求证：△CPQ∽△DAQ；
（2）如图2，当点P在BC的延长线上时，设BP=x，△APQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）以点A为圆心AQ为半径作⊙A，以点B为圆心BP为半径作⊙B，当⊙A与⊙B相切时，求BP的长．

解：（1）过点A作AM⊥CD，M为垂足，过点B作BN⊥CD，N为垂足
根据题意得：AM=BN，
AB=MN=4，DM=CN，
在直角三角形△ABN中，
∵∠DCB=60°，BC=2，CN=1，BN=

3

，
∴DM=1，AM=

3

，
∴CD=6（2分），
∵点P为BC的中点，且CQ=2BP，
∴CP=1，CQ=2，DA=2，DQ=4，
∴

CP

DA

=

CQ

DQ

又∵∠QCP=∠D=60°，
∴△CPQ∽△DAQ（2分）；

（2）∵AB∥DC
∴

PC

PB

=

CE

AB

，
∴

x-2

x

=

CE

4

∴CE=

4x-8

x

，
∴QE=2x-

4x-8

x

=

2x2-4x+8

x

（2分），
如图2，过点P作PH⊥CD交DC的延长线于H，
在直角三角形△CPH中，
∴∠PCH=60°，PC=x-2，PH=

3

2

(x-2)，
∵S_△APQ=S_△PQE+S_△AQE
∴y=

1

2

×

3

2

(x-2)×

2x2-4x+8

x

+

1

2

×

3

×

2x2-4x+8

x

，
∴y=

3

2

(x2-2x+4)（2分）（2＜x≤3）（1分）；


（3）如备用图，过点A作AM⊥CD于M，
∵DM=1，DQ=6-2x，
∴QM=|5-2x|
在直角三角形△AQM中，AQ=

(5-2x)2+3

（1分），
当⊙A与⊙B外切时，AQ+BP=AB，

(5-2x)2+3

+x=4，
解得：x₁=x₂=2（2分），
当⊙A与⊙B内切时，|AQ-BP|=AB，

(5-2x)2+3

-x=4，
解得：x1=

14-4 10

3

，x2=

14+4 10

3

（舍去）（2分）
∴当BP=2时，⊙A与⊙B外切；
当BP=

14-4 10

3

时，⊙A与⊙B内切．
解：（1）过点A作AM⊥CD，M为垂足，过点B作BN⊥CD，N为垂足
根据题意得：AM=BN，
AB=MN=4，DM=CN，
在直角三角形△ABN中，
∵∠DCB=60°，BC=2，CN=1，BN=

3

，
∴DM=1，AM=

3

，
∴CD=6（2分），
∵点P为BC的中点，且CQ=2BP，
∴CP=1，CQ=2，DA=2，DQ=4，
∴

CP

DA

=

CQ

DQ

又∵∠QCP=∠D=60°，
∴△CPQ∽△DAQ（2分）；

（2）∵AB∥DC
∴

PC

PB

=

CE

AB

，
∴

x-2

x

=

CE

4

∴CE=

4x-8

x

，
∴QE=2x-

4x-8

x

=

2x2-4x+8

x

（2分），
如图2，过点P作PH⊥CD交DC的延长线于H，
在直角三角形△CPH中，
∴∠PCH=60°，PC=x-2，PH=

3

2

(x-2)，
∵S_△APQ=S_△PQE+S_△AQE
∴y=

1

2

×

3

2

(x-2)×

2x2-4x+8

x

+

1

2

×

3

×

2x2-4x+8

x

，
∴y=

3

2

(x2-2x+4)（2分）（2＜x≤3）（1分）；


（3）如备用图，过点A作AM⊥CD于M，
∵DM=1，DQ=6-2x，
∴QM=|5-2x|
在直角三角形△AQM中，AQ=

(5-2x)2+3

（1分），
当⊙A与⊙B外切时，AQ+BP=AB，

(5-2x)2+3

+x=4，
解得：x₁=x₂=2（2分），
当⊙A与⊙B内切时，|AQ-BP|=AB，

(5-2x)2+3

-x=4，
解得：x1=

14-4 10

3

，x2=

14+4 10

3

（舍去）（2分）
∴当BP=2时，⊙A与⊙B外切；
当BP=

14-4 10

3

时，⊙A与⊙B内切．