试题

题目：
青果学院（2009·鼓楼区二模）如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交
⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=15，EF=10，求AE的长．
答案
青果学院解：（1）直线EF与⊙O相切．
理由：连接OE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵EF∥AC，
∴∠FEA=∠CAE，
∵∠CBE=∠CAE，∠CBE=∠ABE，
∴∠FEA=∠ABE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠FEA+∠OEA=90°，
∴直线EF与⊙O相切；

（2）∵∠FEA=∠FBE，∠EFA=∠BFE，
∴△EFA∽△BFE，
∴
FE
FA
=
FB
FE
，
又∵AB=15，EF=10，
∴AF=5，
又∵
AE
BE
=
AF
EF
，
∴BE=2AE，
又∵AB2=BE2+AE2，
∴AE=3
5
．
青果学院解：（1）直线EF与⊙O相切．
理由：连接OE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵EF∥AC，
∴∠FEA=∠CAE，
∵∠CBE=∠CAE，∠CBE=∠ABE，
∴∠FEA=∠ABE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠FEA+∠OEA=90°，
∴直线EF与⊙O相切；

（2）∵∠FEA=∠FBE，∠EFA=∠BFE，
∴△EFA∽△BFE，
∴
FE
FA
=
FB
FE
，
又∵AB=15，EF=10，
∴AF=5，
又∵
AE
BE
=
AF
EF
，
∴BE=2AE，
又∵AB2=BE2+AE2，
∴AE=3
5
．
考点梳理
切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OE，由于OE=OA，可知∠OEA=∠OAE，而EF∥AC，那么∠FEA=∠CAE，而∠CBE=∠CAE，∠CBE=∠ABE，于是∠FEA=∠ABE，再根据AB是直径，可知∠BAE+∠ABE=90°，等量代换有∠FEA+∠OEA=90°，即∠FEC=90°，从而可知EF是⊙O的切线；
（2）由于∠FEA=∠FBE，∠EFA=∠BFE，易证△EFA∽△BFE，利用比例线段可求AF，而
AE
BE
=
AF
EF
，易得BE=2AE，在Rt△ABE中，利用勾股定理可求AE．
本题考查了切线的判定和性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是连接OE，并且证明△EFA∽△BFE、求出AF．
计算题；证明题．
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