试题

题目：
如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB上一点，AD=5，BD=4，四边形CEDF为正方形，则图中阴影部分的面积为
10
10
．青果学院
答案
10

解：设正方形CEDF的边长为a，
∵四边形CEDF为正方形，∠ACB=90°，
∴DF∥BC，
∴∠ADF=∠B，
∴△ADF∽△DBE，
∴
5
4
=
a
BE
=
AF
a
，
∴BE=
4a
5
，AF=
5a
4
，
在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2，即42=a2+（
4a
5
）2，
解得a2=
400
41
，
又∵S阴影部分=
1
2
·AF·DF+
1
2
·DE·BE=
1
2
（
5a2
4
+
4a2
5
）=
1
2
×
41
20
×
400
41
=10．
故答案为10．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理．
设正方形CEDF的边长为a，由四边形CEDF为正方形，∠ACB=90°，得DF∥BC，得到△ADF∽△DBE，所以
5
4
=
a
BE
=
AF
a
，则BE=
4a
5
，AF=
5a
4
，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到a2=
400
41
，再利用三角形的面积公式得S阴影部分=
1
2
·AF·DF+
1
2
·DE·BE，代入计算即可得到阴影部分的面积．
本题考查了三角形相似的判定与性质，只有一个锐角相等的两个直角三角形相似．也考查了勾股定理以及三角形的面积公式．
计算题．
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