试题

题目：
青果学院如图，CD为直角△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC．设△ADE，△CDB，△ABC的周长分别是p1，p2，p．当
p1+p2
p
取最大值时，∠A=
30°
30°
．
答案
30°

解：∵CD⊥AB，DE⊥AC
Rt△ADE∽Rt△ABC，Rt△CBD∽Rt△ABC．
令BC=a，AB=c，则DB=
a2
c
，AD=c-
a2
c
．
于是
p1+p2
p
=
AD
AB
+
BC
AB
=-(
a
c
)2+
a
c
+1．
由二次函数性质知，当
a
c
=-
1
2×(-1)
=
1
2
，
即
BC
AB
=
1
2
时，
p1+p2
p
取最大值时，
此时∠A=30°．
故答案为 30°．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值．
易证Rt△ADE∽Rt△ABC，Rt△CBD∽Rt△ABC，令BC=a，AB=c，即可求得
p1+p2
p
=
AD
AB
+
BC
AB
=-(
a
c
)2+
a
c
+1，根据二次函数的极值即可求得，
BC
AB
=
1
2
时∠A的度数．
本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的证明，本题中求一元二次方程的最大值时x的取值是解题的关键．
计算题．
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