试题

题目：
青果学院如图，正方形ABCD中，延长边BC到E，AE分别交BD，CD于点P，Q．当AP=QE时，PQ：AE=
1：（
5
+2）
1：（
5
+2）
．
答案
1：（
5
+2）

解：∵BP平分∠ABE，DP平分∠ADQ，△ABE∽△QDA，∴
AP
PE
=
AB
BE
=
DQ
AD
=
PQ
AP
．
从而，AP2=PE·PQ=AQ·PQ．
故P为AQ的黄金分割点．显然AP＞PQ．
令PQ=1，则
AP=QE=
5
+1
2
，AE=1+2×
5
+1
2
=
5
+2．
∴PQ：AE=1：（
5
+2）．
故答案为1：（
5
+2）．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质；黄金分割．
先由正方形的性质可得，△ABE∽△QDA，则
AP
PE
=
AB
BE
=
DQ
AD
=
PQ
AP
，根据黄金分割，令PQ=1，则AP=QE=
5
+1
2
，
从而求出PQ：AE=1：（
5
+2）．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、黄金分割等知识，综合性强，难度较大．
计算题．
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