试题

题目：
青果学院如图，Rt△ABC中，O是斜边BC的中点．P是AB边上一点，且∠APO=∠C，已知PA=5，PB=3，则PO=
5
5
．
答案
5

青果学院解：连接AO．
∵Rt△ABC中，O是斜边BC的中点，
∴OA=OB=OC，
∴∠C=∠OAC；                     
∵∠APO=∠C，∠BAC=90°，
∴∠PAO+∠OAC=∠PAO+∠APO=90°，
∴∠POA=90°；
在Rt△APO和Rt△BCA中，
∠APO=∠C(已知)
∠AOP=∠BAC=90°
，
∴Rt△APO∽Rt△BCA（AA），
∴
OA
AB
=
AP
BC
；
又∵PA=5，PB=3，
∴
OA
8
=
5
2OA
，
解得，OA=2
5
；
在Rt△APO中，PO=
PA2-OA2
=
5
．
故答案是：
5
．
考点梳理
直角三角形斜边上的中线；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
作辅助线AO，构建直角三角形ABC斜边BC上的中线、相似三角形Rt△APO∽Rt△BCA；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得OA=OB=OC；然后利用相似三角形Rt△APO∽Rt△BCA的对应边成比例求得
OA
AB
=
AP
BC
，即
OA
8
=
5
2OA
，并求得OA=2
5
；最后在Rt△APO中，由勾股定理解得PO=
5
．
本题考查了直角三角形的斜边上的中线、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．解得该题时，作辅助线OA，构建直角三角形ABC斜边BC上的中线、相似三角形Rt△APO∽Rt△BCA是解题的关键．
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