试题

题目:
青果学院如图,在长方形ABCD中,E、F、G分别是边AB、BC、CD的中点.已知长方形ABCD的面积是40cm2.则四边形MFNP的面积是
9
9
cm2
答案
9

青果学院解:如右图所示,连接MN、FP,并延长FP交AD于Q,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠PDG=∠PEA,∠PGD=∠PAE,
又∵E、G是AB、CD中点,
∴AE=
1
2
AB,DG=
1
2
CD,
∴AE=DG,
∴△PDG≌△PEA,
∴PD=PE,PG=PA,
∴P是DE、AG中点,
又∵F是BC中点,
∴PF∥CD,
∴FQ∥CD,
∴△DQP∽△DAE,
∴QP:AE=DQ:AD=1:2,
∴PQ=
1
2
AE,
∴PQ=
1
4
AB,
∴四边形ABFQ、FCDQ是矩形,
∵F是BC中点,
∴AQ=DQ=BF=CF,
∴PF=
3
4
AB,
∵AB∥PQ,
∴△AEM∽△FPM,
∴AM:MF=AE:PF=3:2,
同理DN:NF=3:2,
∴AM:MF=DN:NF,
∴MN∥AD,
∴MN⊥FQ,
∴MN:AD=MF:AF=3:5,
∴MN=
3
5
AD,
∴S四边形MFNP=
1
2
×MN×PF=
1
2
×
9
20
×AB×CD=
9
40
×40=9.
故答案为:9.
考点梳理
相似三角形的判定与性质;矩形的性质.
由于四边形ABCD是矩形,那么AB=CD,AB∥CD,而易求AE=DG,易证△PDG≌△PEA,从而可知P是DE、AG中点,利用梯形中位线定理可知QF∥AB∥CD,并易证明四边形ABFG、FCDG是矩形,而利用平行线分线段成比例定理的推论,易求QP=
1
4
AB,从而有PF=
3
4
AB,再利用QF∥AB,可得△AEM∽△FPM,那么AM:MF=AE:PF=3:2,同理DN:NF=3:2,易证MN∥
AD,且MN⊥QF,利用S四边形MFNP=
1
2
×MN×PF即可求面积.
本题考查了矩形的性质和判定、梯形中位线定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质.解题的关键是连接MN、FP,并延长FP交AD于Q,证明MN⊥FP.
计算题.
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