试题

题目：
青果学院如图：在正△ABC中，点D、E分别在边BC、CA上，使得CD=AE，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q．则
QP
QB
=
3
3
3
3
．
答案
3
3

解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB，且∠C=∠CAB=60°，又CD=AE，
∴△ACD≌△BEA，
∴∠CAD=∠EBA，又∠CAD+∠DAB=60°，
∴∠QPB=∠DAB+∠ABE=60°，又BQ⊥AD，
∴
QP
QB
=cot60°=tan30°=
3
3
．
故答案为：
3
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；垂线；等边三角形的性质．
根据三角形为等边三角形，得到三条边和三个角相等，又根据CD=AE，利用SAS的方法得到三角形ACD与三角形ABE，根据全等三角形的对应角相等得到角CAD等于角EAB，又角CAD加角DAB等于60°，所以利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，得到角BPQ等于60°，又BQ与AD垂直，根据特殊角的三角函数即可求出所求的比值．
此题考查了等边三角形的性质及全等的证明方法，考查了三角形的外角定理及特殊角的三角函数值，是一道综合题．
综合题．
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