试题

题目：
△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，则c可用a、b的代数式表示为
5c2=a2+b2
5c2=a2+b2
．
答案
5c2=a2+b2

青果学院解：∵AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，
于是，中线BE、AD，E和D是AC，BC上的中点
由题可知，
∴∠BOA=90°，BD=CD=
a
2
，AE=EC=
b
2
，
∵E，D为中点，故DE为中线=
1
2
AB=
c
2
，
∴①BO2+DO2=（
a
2
）2，
②AO2+EO2=（
b
2
）2，
③DO2+EO2=（
c
2
）2，
④BO2+AO2=c2，
∴①+②=③+④，
∴5c2=a2+b2．
故答案为：5c2=a2+b2．
考点梳理
三角形的重心；相似三角形的判定与性质．
根据中线的性质得出BD=CD=
a
2
，AE=EC=
b
2
，根据E，D为中点，故DE为中线=
1
2
AB=
c
2
，进而利用勾股定理求出各线段之间的关系求出即可．
此题主要考查了勾股定理的应用以及重心的性质，根据已知得出各边之间的关系进而求出是解题关键．
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