试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上一点，且AD∥OC．
（1）求证：△ADB∽△OBC；
（2）若AB=2，BC=
5
，求AD的长．（结果保留根号）
答案
（1）证明：∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠D=90°，∠CBO=90°，
即∠A=∠COB，∠D=∠CBO，
∴△ADB∽△OBC．
 
（2）解：OB=
1
2
AB=1，
在△OBC中，由勾股定理得：OC=
OB2+BC2
=
6
，
∵△ADB∽△OBC，
∴
AD
OB
=
AB
OC
，
∴
AD
1
=
2
6

解得：AD=
6
3
．
答：AD的长是
6
3
．
（1）证明：∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠D=90°，∠CBO=90°，
即∠A=∠COB，∠D=∠CBO，
∴△ADB∽△OBC．
 
（2）解：OB=
1
2
AB=1，
在△OBC中，由勾股定理得：OC=
OB2+BC2
=
6
，
∵△ADB∽△OBC，
∴
AD
OB
=
AB
OC
，
∴
AD
1
=
2
6

解得：AD=
6
3
．
答：AD的长是
6
3
．
考点梳理
切线的性质；平行线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）根据平行线性质求出∠A=∠COB，推出∠A=∠OBC=90°，即可推出△ADB∽△OBC；
（2）根据相似三角形的性质推出
AD
OB
=
AB
OC
，代入求出即可．
本题考查了切线的性质，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点得出应用，关键是求出△ADB∽△OBC，此题是一道比较典型的题目．
几何综合题．
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