试题

（2003·黄浦区一模）如图已知⊙O及弦BC．
（1）若D是弧BC的中点，A是圆上一点，AD交BC于E，当A在⊙O上运动时，是否总能满足AB·AC=AE·AD，请作出判断，并证明你的结论；
（2）A在⊙O何处时，△ABC为等腰三角形？请说明理由．

解：（1）满足．（2分）证明如下：
连接DC
∵D是弧BC的中点
∴∠BAE=∠DAC（4分）
∵∠ABE=∠ADC（5分）
∴△ABE∽△ADC（7分）
∴

AB

AD

=

AE

AC

即AB·AC=AE·AD（9分）

（2）A可在弦BC的垂直平分线与⊙O的交点上（10分）；或以B为圆心，以BC为半径作弧交⊙O于A（11分）
理由如下：若AD垂直平分BC，则弧AB=弧AC，所以AB=AC，这时△ABC为等腰三角形；
若以B为圆心，以BC为半径作弧交⊙O于A，则AB=BC，这时△ABC为等腰三角形．（13分）
解：（1）满足．（2分）证明如下：
连接DC
∵D是弧BC的中点
∴∠BAE=∠DAC（4分）
∵∠ABE=∠ADC（5分）
∴△ABE∽△ADC（7分）
∴

AB

AD

=

AE

AC

即AB·AC=AE·AD（9分）

（2）A可在弦BC的垂直平分线与⊙O的交点上（10分）；或以B为圆心，以BC为半径作弧交⊙O于A（11分）
理由如下：若AD垂直平分BC，则弧AB=弧AC，所以AB=AC，这时△ABC为等腰三角形；
若以B为圆心，以BC为半径作弧交⊙O于A，则AB=BC，这时△ABC为等腰三角形．（13分）