试题

（2005·闸北区一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，BD=DC，BE=AF，EF交AD于点G．
（1）求证：DE=DF；
（2）求证：△DEG∽△DCF；
（3）如果AB=3BE，BE=2

2

，求出所有与△BDE相似的三角形的面积．

解：（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵BD=DC，
∴AD=

1

2

BC=CD，且∠BAD=

1

2

∠BAC=45°，
∴∠BAD=∠C，
∵BE=AF，
∴AE=CF，
∵AD=CD，∠BAD=∠C，AE=CF，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，

（2）∵△ADE≌△CDF，
∴∠EDG=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADF+∠EDG=90°，
∴∠DEF=45°，
∴∠DEF=∠C，
∵∠EDG=∠CDF，∠DEF=∠C，
∴△DEG∽△DCF，

（3）作EH⊥BC于H．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，
∵BE=2

2

，
∴EH=BH=2，
∴S_△BDE=6，
∵AB=3BE，
∴AE=4

2

，BD=3BH=6，
∴HD=4，
∴在Rt△DEH中，DE=

EH2+HD2

=2

5

，
∴DF=DE=2

5

，
∴△BDE∽△ADF∽△FDG∽△AEG，
∵S_△ADF：S_△BDE=DA²：BD²=1，
∴S_△ADF=S_△BDE=6；
∵S_△FDG：S_△BDE=DF²：BD²=（2

5

）²：6²=5：9，
∴S_△FDG=

5

9

×6=

10

3

，
∵S_△AEG：S_△BDE=AE²：BD²=（4

2

）²：6²=8：9，
∴S_△AEG=

16

3

．
解：（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵BD=DC，
∴AD=

1

2

BC=CD，且∠BAD=

1

2

∠BAC=45°，
∴∠BAD=∠C，
∵BE=AF，
∴AE=CF，
∵AD=CD，∠BAD=∠C，AE=CF，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，

（2）∵△ADE≌△CDF，
∴∠EDG=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADF+∠EDG=90°，
∴∠DEF=45°，
∴∠DEF=∠C，
∵∠EDG=∠CDF，∠DEF=∠C，
∴△DEG∽△DCF，

（3）作EH⊥BC于H．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，
∵BE=2

2

，
∴EH=BH=2，
∴S_△BDE=6，
∵AB=3BE，
∴AE=4

2

，BD=3BH=6，
∴HD=4，
∴在Rt△DEH中，DE=

EH2+HD2

=2

5

，
∴DF=DE=2

5

，
∴△BDE∽△ADF∽△FDG∽△AEG，
∵S_△ADF：S_△BDE=DA²：BD²=1，
∴S_△ADF=S_△BDE=6；
∵S_△FDG：S_△BDE=DF²：BD²=（2

5

）²：6²=5：9，
∴S_△FDG=

5

9

×6=

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，
∵S_△AEG：S_△BDE=AE²：BD²=（4

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）²：6²=8：9，
∴S_△AEG=

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