试题

（2007·宝山区一模）已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P是边AB的中点，以P为顶点，作∠MPN=∠A，∠MPN的两边分别与边AC交于点M、N．
（1）当△MPN是直角三角形时，求CM的长度；
（2）当∠MPN绕点P转动时，下列式子：（甲）CM·AN，（乙）CN·AM的值是否保持不变？若保持不变，试求出这个不变的值，并证明你的结论；
（3）连接BM，是否存在这样的点M，使得△BMP与△ANP相似？若存在，请求出这时CM的长；若不存在，请说明理由．

解：（1）显然∠MPN≠90°，
若∠PMN=90°，则CM=4，（1分）
若∠PNM=90°，则PN=3，CN=4，MN=

9

4

，
∴CM=

7

4

；

（2）（甲）CM·AN的值不确定（显然，CM可以为0，从而CM·AN的值为0）；
（乙）CN·AM的值保持不变，且CN·AM=25．（2分）
证明如下：
连CP，由已知：∠ACB=90°，AB=10，
∵点P是AB中点，
∴CP=AP=5．（1分）
∴∠PCA=∠PAC=∠MPN．
∴∠PMA=∠CPN．
∴△CPN∽△AMP．（2分）
∴

CN

AP

=

CP

AM

．
∴CN·AM=25．（1分）

（3）∵∠MPN=∠A，
∴∠APN+∠ANP=∠APN+∠BPM，
∴∠ANP=∠BPM．（1分）
要使△BMP与△ANP相似，
①若∠MBP=∠A，则BM=AM，
又P是AB中点，
∴MP⊥AB，
∴△AMP∽△ABC．
∴AM=

25

4

，
从而CM=

7

4

；
②若∠BMP=∠A，
则∠BMP=∠MPN，
∴△BMP∽△BAM．

BM

BA

=

BP

BM

，
∴

BM

10

=

5

BM

，
∴BM=5

2

．
从而CM=

14

．
解：（1）显然∠MPN≠90°，
若∠PMN=90°，则CM=4，（1分）
若∠PNM=90°，则PN=3，CN=4，MN=

9

4

，
∴CM=

7

4

；

（2）（甲）CM·AN的值不确定（显然，CM可以为0，从而CM·AN的值为0）；
（乙）CN·AM的值保持不变，且CN·AM=25．（2分）
证明如下：
连CP，由已知：∠ACB=90°，AB=10，
∵点P是AB中点，
∴CP=AP=5．（1分）
∴∠PCA=∠PAC=∠MPN．
∴∠PMA=∠CPN．
∴△CPN∽△AMP．（2分）
∴

CN

AP

=

CP

AM

．
∴CN·AM=25．（1分）

（3）∵∠MPN=∠A，
∴∠APN+∠ANP=∠APN+∠BPM，
∴∠ANP=∠BPM．（1分）
要使△BMP与△ANP相似，
①若∠MBP=∠A，则BM=AM，
又P是AB中点，
∴MP⊥AB，
∴△AMP∽△ABC．
∴AM=

25

4

，
从而CM=

7

4

；
②若∠BMP=∠A，
则∠BMP=∠MPN，
∴△BMP∽△BAM．

BM

BA

=

BP

BM

，
∴

BM

10

=

5

BM

，
∴BM=5

2

．
从而CM=

14

．