试题

（2007·东城区二模）图（1）是边长不等的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）．
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图（2））；
探究：在图（2）中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
（2）操作：将图（1）中的△C′D′E′固定，将△ABC 移动，使顶点C落在C′D′的中点，边AC交E′D′于M，边BC交C′E′于N．若△C′D′E′的边长为a，∠ACD′=α （30°＜α＜90°）（图（3））；
探究：在图（3）中线段C′N·D′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出C′N·D′M的值；如果有变化，请说明理由．

（1）BE=AD，
证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，
∴∠DCA=∠ECB，
∵在△DCA和△ECB中

DC=CE ∠DCA=∠ECB AC=BC

，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴BE=AD．

（2）解：线段C′N·D′M的值不随α的变化而变化，
∵△C′D′E′的边长为a，C是C′D′的中点，
∴CD′=CC′=

a

2

，
∵△C′D′E′和△ACB是等边三角形，
∴∠D′=∠ACB=∠C′=60°，
∴∠D′CM+∠C′CN=180°-60°=120°，∠D′CM+∠CMD′=180°-60°=120°，
∴∠CMD′=∠C′CN，
∵∠C′=∠D′=60°，
∴△CMD′∽△NCC′，
∴

C′N

CD′

=

CC′

D′M

，
∴C′N·D′M=CD′·CC′=

a

2

×

a

2

=

a2

4

，
即线段C′N·D′M的值不随α的变化而变化，永远是

a2

4

．
（1）BE=AD，
证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，
∴∠DCA=∠ECB，
∵在△DCA和△ECB中

DC=CE ∠DCA=∠ECB AC=BC

，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴BE=AD．

（2）解：线段C′N·D′M的值不随α的变化而变化，
∵△C′D′E′的边长为a，C是C′D′的中点，
∴CD′=CC′=

a

2

，
∵△C′D′E′和△ACB是等边三角形，
∴∠D′=∠ACB=∠C′=60°，
∴∠D′CM+∠C′CN=180°-60°=120°，∠D′CM+∠CMD′=180°-60°=120°，
∴∠CMD′=∠C′CN，
∵∠C′=∠D′=60°，
∴△CMD′∽△NCC′，
∴

C′N

CD′

=

CC′

D′M

，
∴C′N·D′M=CD′·CC′=

a

2

×

a

2

=

a2

4

，
即线段C′N·D′M的值不随α的变化而变化，永远是

a2

4

．