试题

题目：
青果学院（2007·嘉定区二模）如图：已知在等边三角形ABC中，点D、E分别是AB、BC延长线上的点，且BD=CE，直线CD与AE相交于点F．
（1）求证：DC=AE；
（2）求证：AD2=DC·DF．
答案
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，BC=CA（2分）
∴∠DBC=∠ECA=180°-60°=120°（1分）
在△DBC与△ECA中
DB=EC
∠DBC=∠ECA
BC=CA

∴△DBC≌△ECA（SAS）（2分）
∴DC=AE；（1分）

（2）∵△DBC≌△ECA，
∴∠DCB=∠EAC（1分）
又∠ACB=∠BAC
∴∠DCA=∠DAF（1分）
又∠D=∠D
∴△DCA∽△DAF（2分）
∴
DC
AD
=
AD
DF
（1分）
∴AD2=DC·DF．（1分）
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，BC=CA（2分）
∴∠DBC=∠ECA=180°-60°=120°（1分）
在△DBC与△ECA中
DB=EC
∠DBC=∠ECA
BC=CA

∴△DBC≌△ECA（SAS）（2分）
∴DC=AE；（1分）

（2）∵△DBC≌△ECA，
∴∠DCB=∠EAC（1分）
又∠ACB=∠BAC
∴∠DCA=∠DAF（1分）
又∠D=∠D
∴△DCA∽△DAF（2分）
∴
DC
AD
=
AD
DF
（1分）
∴AD2=DC·DF．（1分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
（1）利用“SAS”证明△DBC≌△ECA即可；
（2）由△DBC≌△ECA可知∠E=∠D，根据外角定理可知∠AFC=∠E+∠FCE=∠D+∠BCD=∠ABC=60°，可证△DCA∽△DAF，利用相似比得出结论．
本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质．关键是根据等边三角形的性质找角相等的条件．
找相似题