试题

（2007·南长区二模）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=45°，点P为x轴上一个动点，（点P不与O、A重合），连接CP，过点P作PD交AB于点D．
（1）求点B的坐标；
（2）当点P运动到什么位置时，△OCP为等腰三角形，求此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，∠CPD=45°，且

BD

AD

=

1

3

，求此时点P的坐标．

解：（1）过点B作BE⊥OA，
∵四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=45°，
∴∠EBA=45°，
∴AE=BE，
∴AE²+BE²=AB²，
∴AE=BE=2

2

，
∴OE=7-2

2

，
∴点B的坐标(7-2

2

，2

2

)；

（2）当OP=CP时，
即∠COP=∠OCP=45°，
∴OP=PC，
OP²+CP²=OC²，
∴OP=2

2

，
∴P点坐标为：(2

2

，0)，
当OC=OP，即OC=OP=AB=4，
当OC=CP时，∠COP=∠CPO=45°，
∴∠OCP=90°，
∵CO=4，
∴CP=4，
∴OP=4

2

，
∴P点坐标为：P（4，0）或（-4，0）或（4

2

，0）；

（3）∵∠CPD=45°，
∴∠OPC+∠DPA=180°-45°=135°，
∵∠OCP+∠OPC=180°-45°=135°，
∴∠OCP=∠DPA，
∵∠COP=∠DAP=45°，
∴△OCP∽△APD，
∴

AD

OP

=

AP

CO

，
∵

BD

AD

=

1

3

，AB=4，
∴AD=3，

3

OP

=

7-OP

4

，
∴OP²-7OP+12=0，
解得：OP₁=3，OP₂=4，
∴P（3，0）或（4，0）．
解：（1）过点B作BE⊥OA，
∵四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=45°，
∴∠EBA=45°，
∴AE=BE，
∴AE²+BE²=AB²，
∴AE=BE=2

2

，
∴OE=7-2

2

，
∴点B的坐标(7-2

2

，2

2

)；

（2）当OP=CP时，
即∠COP=∠OCP=45°，
∴OP=PC，
OP²+CP²=OC²，
∴OP=2

2

，
∴P点坐标为：(2

2

，0)，
当OC=OP，即OC=OP=AB=4，
当OC=CP时，∠COP=∠CPO=45°，
∴∠OCP=90°，
∵CO=4，
∴CP=4，
∴OP=4

2

，
∴P点坐标为：P（4，0）或（-4，0）或（4

2

，0）；

（3）∵∠CPD=45°，
∴∠OPC+∠DPA=180°-45°=135°，
∵∠OCP+∠OPC=180°-45°=135°，
∴∠OCP=∠DPA，
∵∠COP=∠DAP=45°，
∴△OCP∽△APD，
∴

AD

OP

=

AP

CO

，
∵

BD

AD

=

1

3

，AB=4，
∴AD=3，

3

OP

=

7-OP

4

，
∴OP²-7OP+12=0，
解得：OP₁=3，OP₂=4，
∴P（3，0）或（4，0）．