试题

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，
（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是；
（2）如图2，当

CE

AE

=

1

2

，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；
（3）如图3，当

CE

AE

=

1

n

，线段EF与EG的数量关系是．

解：（1）证明：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴AD=CD，
∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，
∴EN=

1

2

AD，
∴EM=

1

2

CD，
∴EN=EM，
∵∠GEB=90°，∠MEN=90°，
∴∠NEF=∠GEM，
∴

∠NEF=∠GEM EN=EM ∠ENF=∠EMG

，
∴△EGM≌△EFN，（ASA）
∴EG=EF

（2）

EF

EG

=

1

2

证明如图（2）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，

∴∠ENA=∠CME=∠EMF=90°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDA=90°．
∴EM∥AD．∠A=∠CEM．
∴△EMC∽△ANE．∴

CE

AE

=

EM

AN

∵EM∥AD，∴∠NEM=90．即∠1+∠2=90°．
∵EG⊥BE，∴∠3+∠2=90°，
∴∠MEF=∠GEN．
∴△EFM∽△EGN．∴

EF

EG

=

EM

EN

．
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∴AN=EN．
∴

EF

EG

=

EM

AN

，
∴

CE

AE

=

EF

EG

∵

CE

AE

=

1

2

，
∴

EF

EG

=

1

2

．

（3）∴

EF

EG

=

1

n

 证明如图（3）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，
∴∠ENA=∠CME=∠EMF=90°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDA=90°．
∴EM∥AD．∠A=∠CEM．
∴△EMC∽△ANE．∴

CE

AE

=

EM

AN

∵EM∥AD，∴∠NEM=90．即∠2+∠3=90°．
∵EG⊥BE，∴∠3+∠2=90°，
∴∠MEF=∠GEN．
∴△EFM∽△EGN．∴

EF

EG

=

EM

EN

．
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∴AN=EN．
∴

EF

EG

=

EM

AN

，
∴

CE

AE

=

EF

EG

∵

CE

AE

=

1

n

∴

EF

EG

=

1

n

，

故答案为：（1）EF=EG，（3）

EF

EG

=

1

n