试题

题目：
青果学院如图，已知AC切⊙O于A，AB为直径，C为⊙O外一点，BC交⊙O于点D，AC=6，BD=5，连接AD．
（1）证明：△CAD∽△CBA；（2）求线段DC的长．
答案
证明：（1）∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
又∵CA是切线，
∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°．
∴∠BAC=∠CDA=90°．
又∵∠BCA=∠DCA，
∴△CAD∽△CBA．

（2）由（1）知△CAD∽△CBA，
∴
DC
CA
=
AC
CB
．
设DC=x，
则
x
6
=
6
x+5
，
即x2+5x-36=0，
解得x=4或x=-9（舍去），
∴CD的长为4．
证明：（1）∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
又∵CA是切线，
∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°．
∴∠BAC=∠CDA=90°．
又∵∠BCA=∠DCA，
∴△CAD∽△CBA．

（2）由（1）知△CAD∽△CBA，
∴
DC
CA
=
AC
CB
．
设DC=x，
则
x
6
=
6
x+5
，
即x2+5x-36=0，
解得x=4或x=-9（舍去），
∴CD的长为4．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△CAD∽△CBA；
（2）根据相似三角形的对应边成比例可求得CD的长．
此题主要考查相似三角形的判定及切线的性质的理解及运用，同时也考查了因式分解法解一元二次方程．
代数几何综合题．
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