试题

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB．过A作AF⊥BD，交BC于G，延长BC至E，使CE=CD．
（1）请指出四边形ACED的形状，并证明；
（2）如果BD=8，AG=6，求△BDE的面积．

解：（1）四边形ACED为平行四边形，
在等腰梯形ABCD中，AD=AB=CD=CE，AD∥CE，
∴四边形ACED为平行四边形．
（2）∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，而BF=BF，∠AFB=∠GFB=90°．
∴△AFB≌△GFB．
∴AF=GF=3．
又∵AG垂直平分BD，
∴BF=4．
在Rt△AFB中，得AB=5．
由（1）可得AC∥DE．
∴∠E=∠ACB．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=DB，
∵四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，
∴DE=BD，
∴∠E=∠DBC，
∴∠E=∠DBC=∠ADB=∠ABD，
∴△ABD∽△DBE，
∴

S △BDE

S △ABD

=

BD2

AB2

，而S_△ABD=12，
∴S_△BDE=

768

25

．
解：（1）四边形ACED为平行四边形，
在等腰梯形ABCD中，AD=AB=CD=CE，AD∥CE，
∴四边形ACED为平行四边形．
（2）∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，而BF=BF，∠AFB=∠GFB=90°．
∴△AFB≌△GFB．
∴AF=GF=3．
又∵AG垂直平分BD，
∴BF=4．
在Rt△AFB中，得AB=5．
由（1）可得AC∥DE．
∴∠E=∠ACB．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=DB，
∵四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，
∴DE=BD，
∴∠E=∠DBC，
∴∠E=∠DBC=∠ADB=∠ABD，
∴△ABD∽△DBE，
∴

S △BDE

S △ABD

=

BD2

AB2

，而S_△ABD=12，
∴S_△BDE=

768

25

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