试题

如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点．DF⊥AE于F
（1）求证：ABE∽△DFA；
（2）求AF、DF的长；
（3）求S_{四边形CDFE}．

（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∴△ABE∽△DFA；

（2）解：∵AB=4，E是BC的中点，
∴AE=

42+22

=2

5

，
∵△ABE∽△DFA，
∴

AB

DF

=

BE

FA

=

AE

AD

，
∴

4

DF

=

2

FA

=

2 5

4

，
∴DF=

8

5

5

，AF=

4 5

5

；

（3）解：S_{四边形CDFE}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF=4²-

1

2

×4×2-

1

2

×

8

5

5

×

4 5

5

=16-4-3.2
=8.8．
（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∴△ABE∽△DFA；

（2）解：∵AB=4，E是BC的中点，
∴AE=

42+22

=2

5

，
∵△ABE∽△DFA，
∴

AB

DF

=

BE

FA

=

AE

AD

，
∴

4

DF

=

2

FA

=

2 5

4

，
∴DF=

8

5

5

，AF=

4 5

5

；

（3）解：S_{四边形CDFE}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF=4²-

1

2

×4×2-

1

2

×

8

5

5

×

4 5

5

=16-4-3.2
=8.8．